特征為2的有限域上二次型結(jié)合方案.pdf

1、令F<,q>表示q個(gè)元素的有限域,這里q是2的一個(gè)方冪,n≥2是一個(gè)整數(shù).令M<,n>是F<,q>上全體n×n矩陣的集合,K<,n>表示F<,q>上全體n×n交錯(cuò)矩陣的集合.A,B(∈M(,n))關(guān)于K<,n>同余,如果A+B∈K<,n>,這時(shí)記為A≡B(modK<,n>).M<,n>關(guān)于K<,n>劃分成若干個(gè)等價(jià)類.A所在的等價(jià)類記作[A].熟知,F<,q>上n元二次型∑<,i≤j>a<,ij>x<,i>x<,j>與[A]一一對(duì)應(yīng),這

2、里A=(a<,ij>)(a<,ij>=0,i>j).T∈GL<,n>(F<,q>)引起二次型的變形對(duì)應(yīng)于矩陣類[A]的'同步'變形[TAT'].該文討論中他們將二次型與矩陣類視為同一,而且談到矩陣A常指A所代表的類.上述三種矩陣統(tǒng)一說成是(2ν+δ,ν)型的,這里δ=0,1或2.它們的秩定義為2ν+δ.(2ν,ν)型簡(jiǎn)記為2ν<'+>;(2ν+1,ν)型簡(jiǎn)記為2ν+1;2ν+2型簡(jiǎn)記為2ν+2<'->.這樣,n元二次型的型為0,1,2<

3、'+>,2<'->,3,4<'+>,…….非零的型共有n+[n/2]個(gè).令X<,n>表示F<,q>上全體n元二次型的集合,他們?cè)赬<,n>上定義關(guān)系:(x,y)∈R<,i><=>x-y的型為i這里x,y∈X<,n>,i∈{0,1,2<'+>,2<'->,3,4<'+>,…}.易證,由此所定義的關(guān)系確定了一個(gè)n+[n/2]-類的對(duì)稱結(jié)合方案.這個(gè)結(jié)合方案的元素個(gè)數(shù)顯然為q<'1/2n(n+1)>.結(jié)合關(guān)系R<,i>的價(jià)(valency)即