結(jié)合測(cè)度空間的框架理論的研究.pdf

1、Hilbert空間的離散框架由Duffin與Schaeffer于1952年提出,自1986年后得到廣泛關(guān)注.框架理論是泛函分析與小波分析的重要研究?jī)?nèi)容,既有理論價(jià)值,又有廣泛的應(yīng)用.Hilbert空間上的離散框架具有多種形式的推廣,如: Hilbert空間上的測(cè)度框架(也稱為連續(xù)框架),子空間框架,K-框架，Hilbert C?-?？蚣埽珺anach框架,Banach空間的Xd-框架,算子值框架等.這些推廣形式的框架具有不同的理論意義和

2、應(yīng)用背景.
　　本文主要研究Hilbert空間與Banach空間上的測(cè)度框架與測(cè)度算子場(chǎng)框架.主要工具為向量測(cè)度、向量積分、g-K?the函數(shù)空間、直接積分Hilbert空間、直接積分Banach空間等.主要研究?jī)?nèi)容如下:
　　首先,由于算子值框架與算子值測(cè)度密切相關(guān),本文先給出了算子值測(cè)度的一些結(jié)果.我們證明了算子值測(cè)度是弱*測(cè)度,給出了算子值測(cè)度以及正算子值測(cè)度的幾個(gè)Radon-Nikodym定理,說(shuō)明了何時(shí)算子值測(cè)度與

3、算子值函數(shù)之間可以相互轉(zhuǎn)化.此外,積分重構(gòu)公式作為連接算子值測(cè)度與框架理論的中間橋梁,我們給出了它的具體描述以及一些相應(yīng)的結(jié)果.
　　其次，本文以g-K?the函數(shù)空間為分析空間,建立了Banach空間的測(cè)度框架理論,推廣了Hilbert空間的測(cè)度框架，這里難點(diǎn)在于分析空間的建立.我們得到了向量值可測(cè)函數(shù)成為測(cè)度框架的充要條件,并將測(cè)度框架的分析算子分解為可數(shù)個(gè)簡(jiǎn)單K?the-Bochner算子.作為該分解結(jié)果的推論,證明了Rie

4、sz型測(cè)度框架存在當(dāng)且僅當(dāng)測(cè)度空間是純?cè)拥?此理論的另一個(gè)主要結(jié)果揭示了一秩積分公式與g-K?the函數(shù)空間之間的內(nèi)在聯(lián)系.
　　第三,作為積分重構(gòu)公式的第二個(gè)應(yīng)用,我們將直接積分Hilbert空間作了推廣,給出了直接積分Banach空間的概念,這個(gè)空間與g-K?the-Bochner空間有著直接的聯(lián)系.隨后我們給出了Banach空間測(cè)度算子場(chǎng)框架的定義,并得到了這類框架與算子值測(cè)度間的一個(gè)相互轉(zhuǎn)化關(guān)系.
　　第四，對(duì)于上

5、面兩類框架在Hilbert空間時(shí)的情形,本文進(jìn)行了更進(jìn)一步的討論.對(duì)于測(cè)度框架,我們將其分析算子分解為了可數(shù)個(gè)Hilbert-Schmidt算子之和.對(duì)于測(cè)度算子場(chǎng)框架,給出了它與正算子值測(cè)度之間可以相互轉(zhuǎn)化的條件.
　　此外,本文也研究了框架以及對(duì)偶框架對(duì)的膨脹問(wèn)題,并證明了兩個(gè)僅用算子語(yǔ)言,不需要框架具體形式就能描述的膨脹定理.
　　最后,利用Hilbert空間向量值測(cè)度框架分析算子的分解定理,我們得到了框架像的分解定理