B(H)空間中的全可導點.pdf

1、算子代數(shù)理論產(chǎn)生于20世紀30年代，是泛函分析中一個極其重要的研究領域。它與物理學，量子力學，非交換幾何，線性系統(tǒng)，控制理論，數(shù)論和其他一些重要的數(shù)學分支都有廣泛的聯(lián)系和互相滲透。伴隨著它在其他學科中的應用，這一理論有了很大發(fā)展，已經(jīng)成為現(xiàn)代數(shù)學中一個令人關注的分支。而近年來，算子代數(shù)中導子的特征的刻畫已經(jīng)成為算子代數(shù)領域中的活躍分支，國內(nèi)外許多專家學者對此進行了廣泛的研究并且取得了很多科研成果。在1990年，D.R.Larson和R.

2、V.Kadison各自獨立地提出了局部導子的概念。同年，Larson證明了：Banach空間中的算子空間上的局部導子是導子。在1990年，Kadison 證明了：Von Neumann代數(shù)中的每個范數(shù)拓撲連續(xù)下的局部導子是導子。后來，荊武、魯世杰和李鵬同證明了：套代數(shù)中的每一個在0點處可導的線性映射φ(其中φ滿足φ(Ι)=0)是內(nèi)導子。從2007年至2009年，朱軍和熊昌萍證明了：(1)套代數(shù)中的每一個可逆算子是關于強算子拓撲連續(xù)下的全

3、可導點；(2)算子矩陣E=[I000]是二階算子矩陣代數(shù)中的全可導點(其中I是可逆算子)；(3)任何一個上三角矩陣G是上三角矩陣代數(shù)中的一個全可導點當且僅當G ≠0；(4)任何一個n×n的矩陣G是n×n矩陣代數(shù)中的一個全可導點當且僅當G ≠0。同年，陸方言證明了：在Banach空間上，如果X是該空間中左(或右)可逆的元，δ是連續(xù)的且在X處可導的線性映射，則δ是Jordan導子。在2009年，荊武證明了：在無限維的Hilbert空間上，0

4、是B(H)空間上的廣義Jordan 全可導點；并且他還證明了：在Hilbert空間上，I是B(H)空間上的廣義Jordan全可導點。在這些科研成果的啟發(fā)和引導下，本文考慮將這些結(jié)果推廣到二階算子矩陣代數(shù)上。
　　 本文共有二章:
　　 第一章介紹文中涉及的相關概念，記號以及一些常用的基本定理和性質(zhì)。
　　 第二章是正文部分討論了B(H)空間上的全可導點的一些結(jié)論，探討二階算子矩陣代數(shù)中的全可導點。
　　

5、在本文中用H表示復可分的Hilbert空間，用B(H)表示H上的有界線性算子全體，用(-)A表示B(H)的算子子代數(shù)，用:φ(-)A →(-)A表示一個線性映射。如果(A)S,T ∈(-)A且ST=P都有φ(ST)=φ(S)T+Sφ(T)，則稱線性映射φ：(-)A→(-)A在點P處可導。設P∈(-)A，如果(-)A中的每個在P處可導的線性映射都是一個導子,則稱P是全可導點。設P∈(-)A，如果每一個范數(shù)拓撲(或強算子拓撲等)連續(xù)下的在P

6、處可導的線性映射都是一個導子,則稱P是一個關于范數(shù)拓撲(或強算子拓撲等)連續(xù)下的全可導點。
　　 在本文中，用M表示H的閉子空間，每一個二階算子矩陣都是關于分解H=M⊕M⊥(其中dimM =dimM⊥)下對應的二階算子矩陣。假如用A表示所有二階算子矩陣構成的代數(shù)，即：A={[XYZW]:(A)X=B(M,M)Y∈(M⊥，M)，W∈(M，M⊥)，Z∈B(M⊥，M⊥)}。
　　 本文證明了：如果二階算子矩陣(-)G=[G00