幾類捕食模型平衡態(tài)模式的定性分析.pdf

1、模式生成(pattern formation)問題是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中一個(gè)具有重要理論意義和實(shí)際應(yīng)用背景的研究課題．它描述了自然界諸如生態(tài)學(xué)、化學(xué)反應(yīng)、基因生成等問題中幾種物質(zhì)相互作用時(shí)的結(jié)構(gòu)變化． 本文討論來自于生態(tài)學(xué)中的幾類反應(yīng)擴(kuò)散和交錯(cuò)擴(kuò)散捕食模型的模式生成問題．對于齊次Neumann邊界條件，重點(diǎn)是研究一般擴(kuò)散和交錯(cuò)擴(kuò)散對模式生成(即非常數(shù)正平衡解)的影響；對于齊次Dirichlet邊界條件，重點(diǎn)是分析正平衡解的確切個(gè)數(shù)和穩(wěn)

2、定性，并確定解的漸近行為． 本文首先考察了一個(gè)具有擴(kuò)散和交錯(cuò)擴(kuò)散的Holling-Tanner捕食模型，建立了正平衡解上下界精確的先驗(yàn)估計(jì)，得到了非常數(shù)正平衡解的存在性和不存在性．所得結(jié)果表明，在一定條件下擴(kuò)散和交錯(cuò)擴(kuò)散都能導(dǎo)致模式生成． 在分析該模型非常數(shù)正平衡解的不存在性時(shí)，我們使用了所謂的“隱函數(shù)定理”方法．該方法在證明非常數(shù)正平衡解的不存在性時(shí)是相當(dāng)有效的．同時(shí)，它也能應(yīng)用于諸如著名的Brusselator模型、

3、Belousov-Zhabotinskii．反應(yīng)的Noyes-Field模型以及一類具有比例依賴響應(yīng)函數(shù)(ratio-dependent functional response)的捕食模型等平衡態(tài)問題的研究，從而極大地改進(jìn)了這些模型非常數(shù)正平衡解不存在性的已有結(jié)果． 另外，對于Brusselator模型，同Brown-Davidson及Erneux-Reiss等人的研究工作相比較，獲得了一些更精細(xì)的先驗(yàn)估計(jì)，從而利用拓?fù)涠确椒ǜ?/p>

4、進(jìn)了他們得到的關(guān)于非常數(shù)正平衡解的存在性結(jié)果，減弱了分支存在的條件．對于Belousov-Zhabotinskii反應(yīng)的Noyes-Field模型的正平衡解，我們獲得了最優(yōu)的先驗(yàn)估計(jì)結(jié)果，細(xì)致地分析了模式生成問題，從而補(bǔ)充和完善了Yamada的工作．對于Gray-Scott模型，我們極大地改進(jìn)和補(bǔ)充了Pearson、McGough以及Kiley等人的工作，獲得了更好的先驗(yàn)估計(jì)和判斷模式生成的條件．本文也研究了具有比例依賴響應(yīng)函數(shù)的一個(gè)捕

5、食模型和一個(gè)食物鏈模型．一方面，討論了這兩個(gè)反應(yīng)擴(kuò)散模型解的逗留性質(zhì)和常數(shù)正平衡解的全局穩(wěn)定性，改進(jìn)了Pang-Wang的結(jié)果及部分地回答了Hsu等提出的一些問題．另一方面，非常數(shù)正平衡解的存在性和不存在性結(jié)果表明：各種擴(kuò)散系數(shù)在模式生成中所起的作用很不相同；增加一個(gè)與原系統(tǒng)某物種具有類似性質(zhì)的物種會造成原系統(tǒng)生態(tài)結(jié)構(gòu)發(fā)生質(zhì)的變化；對于具有不同響應(yīng)函數(shù)的生態(tài)模型，同一物種的擴(kuò)散系數(shù)在模式生成中所起的作用也很不一樣． 隨后，本文考

6、慮一個(gè)帶有齊次Dirichlet邊界條件的捕食模型，主要關(guān)心當(dāng)某個(gè)參數(shù)充分大時(shí)正平衡解的存在性、個(gè)數(shù)和穩(wěn)定性．眾所周知，這些問題的研究是很有趣但通常是非常困難和具有挑戰(zhàn)性的．采用Du和Lou研究工作的思想和數(shù)學(xué)技巧，通過細(xì)致地分析解的漸近性態(tài)，借助于經(jīng)典的正則和奇異擾動(dòng)理論，我們完全確定了該模型正平衡解的個(gè)數(shù)和穩(wěn)定性． 最后，本文討論一個(gè)捕食模型在空間退化環(huán)境中的平衡態(tài)模式，獲得了正平衡解存在的充要條件，分析了當(dāng)獵物的捕食能力趨