隨機(jī)系統(tǒng)數(shù)值方法的動力學(xué)行為研究.pdf

1、自1951年，It(o)引入隨機(jī)積分后，隨機(jī)系統(tǒng)理論得到了快速發(fā)展．而無論是利用Lyapunov直接法，還是利用Lasalle不變原理、Razumikhin方法和線性矩陣不等式(LMI)方法來研究隨機(jī)系統(tǒng)的動力學(xué)行為，都需要構(gòu)造Lyapunov函數(shù)或Lyapunov泛函來建立系統(tǒng)的動力學(xué)行為判據(jù)．同時由于隨機(jī)系統(tǒng)的復(fù)雜性，一般此類系統(tǒng)都無法得到解析解．而隨著計算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，利用Monte Carlo方法現(xiàn)在可以非常近似的模擬隨機(jī)的

2、環(huán)境．在缺乏合適的Lyapunov 函數(shù)或Lyapunov泛函的情況下，可以通過選擇數(shù)值方法和步長來比較準(zhǔn)確的復(fù)制真實解的動力學(xué)行為，進(jìn)而為研究隨機(jī)系統(tǒng)的動力學(xué)行為提供新的方法，因此數(shù)值方法成為一個非常重要的研究隨機(jī)系統(tǒng)的工具.
　　 目前，確定微分系統(tǒng)各種數(shù)值方法的動力學(xué)行為的研究已經(jīng)有許多結(jié)果，雖然對隨機(jī)系統(tǒng)數(shù)值方法的研究也有一些結(jié)果，但與確定微分系統(tǒng)數(shù)值方法的動力學(xué)行為相比還有很大的差距，關(guān)鍵是隨機(jī)系統(tǒng)數(shù)值方法的研究中涉及

3、不同數(shù)值方法在多種隨機(jī)收斂意義下的動力學(xué)行為問題，從而導(dǎo)致在研究中遇到許多實質(zhì)性的困難要克服，需要有新的技巧和創(chuàng)新．同時，金融模型常常伴隨著隨機(jī)性，并且由于漂移系數(shù)或者擴(kuò)散系數(shù)或者跳躍系數(shù)不滿足Lipschitz條件或者不滿足線性增長條件，因而此時經(jīng)典的研究隨機(jī)系統(tǒng)的動力學(xué)行為的方法不再適用，需要建立新的方法和不等式來處理跳躍項和不滿足Lipschitz條件或者不滿足線性增長條件的系數(shù)，而數(shù)值方法為金融隨機(jī)系統(tǒng)動力學(xué)行為的研究提供了新途

4、徑.
　　 本文主要研究了幾類隨機(jī)系統(tǒng)數(shù)值方法的收斂性和收斂的階及其穩(wěn)定性．針對Markov跳躍隨機(jī)系統(tǒng)，中立型隨機(jī)泛函系統(tǒng)和Poisson跳躍隨機(jī)系統(tǒng)，通過綜合運(yùn)用Doob 鞅不等式，指數(shù)鞅不等式，Borel－Cantelli引理，隨機(jī)積分不等式和一些代數(shù)不等式等工具，得到了一些研究成果．本文的主要工作如下:
　　 研究了一類帶有Markov跳躍的線性隨機(jī)積分系統(tǒng)的Split-Step Backward Euler(S

5、SBE)方法，建立了隨機(jī)積分系統(tǒng)的SSBE方法的收斂性及收斂的階，同時利用Markov鏈性質(zhì),基本不等式和隨機(jī)分析理論等方法，得到了此隨機(jī)積分系統(tǒng)SSBE 方法的MS–穩(wěn)定性和GMS–穩(wěn)定性，并與已有的Euler–Maruyama (EM)方法和Milstein方法進(jìn)行比較，顯示了此SSBE方法的優(yōu)越性.
　　 研究了中立型隨機(jī)泛函系統(tǒng)的EM方法，應(yīng)用隨機(jī)分析和基本不等式等證明了在全局Lipschitz條件下中立型隨機(jī)泛函系統(tǒng)的

6、EM方法收斂的階，并顯示了中立型隨機(jī)泛函系統(tǒng)EM方法的p階矩收斂性，進(jìn)而利用此結(jié)論，在局部Lipschitz條件下揭示了中立型隨機(jī)泛函系統(tǒng)的EM方法的p階矩收斂的階是接近p=2的，這與隨機(jī)系統(tǒng)的EM方法收斂的階為1=2是不同的.
　　 針對帶有時滯的Poisson跳躍或Markov跳躍隨機(jī)系統(tǒng)，通過Taylor展開方法建立了系統(tǒng)的Taylor方法，進(jìn)而通過Doob鞅不等式和補(bǔ)償Poisson過程的鞅等距性質(zhì)等隨機(jī)分析理論及中值定

7、理得到了一些關(guān)于數(shù)值解和階梯函數(shù)的逼近引理，并在這些引理的基礎(chǔ)上，建立了系統(tǒng)的Taylor方法的收斂性.
　　 研究了變尺度Poisson跳躍隨機(jī)系統(tǒng)，建立了系統(tǒng)的半隱式Euler方法，并利用離散型Gronwall不等式和連續(xù)型Gronwall不等式及隨機(jī)分析理論等方法研究了系統(tǒng)數(shù)值方法的連續(xù)逼近解與階梯函數(shù)間的關(guān)系，進(jìn)而給出了系統(tǒng)數(shù)值方法的收斂性，并且揭示了數(shù)值方法收斂的階.
　　 研究了一類具有時滯均值回歸平方根過程

8、的Poisson跳躍隨機(jī)系統(tǒng)，由于系統(tǒng)的擴(kuò)散系數(shù)不滿足Lipschitz條件和線性增長條件，故而發(fā)展了一些新的技巧來克服這一困難，通過構(gòu)造新的有限序列討論了系統(tǒng)非負(fù)解的有界性，數(shù)值解的均值回歸性，進(jìn)而證明了系統(tǒng)的數(shù)值方法的收斂性，并應(yīng)用于債券和期權(quán)等金融產(chǎn)品價格的計算.
　　 研究了一類具有均值回歸°-過程的Poisson跳躍隨機(jī)系統(tǒng)，由于系統(tǒng)的擴(kuò)散系數(shù)不滿足線性增長條件，故而擴(kuò)展了一些新的技巧來克服此困難，研究了系統(tǒng)正解的各種