關(guān)于小波和框架的一些研究.pdf

1、框架理論最初來源于信號處理。1952年，Duffin和Schaffer在研究非調(diào)和傅里葉級數(shù)時，提出了Hilbert空間框架的概念。當小波理論蓬勃發(fā)展時， Daubechies．Grossmann和Meyer把連續(xù)小波變換的理論與框架理論相結(jié)合，定義了仿射框架(或稱小波框架)。如今的框架已經(jīng)廣泛應(yīng)用于小波分析、信號分析、圖像處理、數(shù)值計算、Banach空間理論、Sobolev空間理論、Besov空間理論等理論和應(yīng)用領(lǐng)域的研究。

2、本文主要討論了Hilbert空間中的框架、Riesz基與正交基的關(guān)系，設(shè)計了一個逼近希爾伯特變換對的小波基及索伯列夫空間中的雙框架分解。本文中引用的結(jié)論大都是此方面的經(jīng)典結(jié)論或是最新的結(jié)論，他們代表了此領(lǐng)域的研究水平和發(fā)展方向。在此基礎(chǔ)上，我推廣了部分結(jié)果，同時也給出了一些新的結(jié)果。本文共分四部分： 第一章是緒論，主要介紹了小波分析的產(chǎn)生、發(fā)展以及框架理論的產(chǎn)生、發(fā)展。 第二章介紹了框架的一些基本性質(zhì)，然后主要研究了Hi

3、lbert空間中的框架、Riesz基與正交基的關(guān)系。結(jié)果表明：無冗余的緊框架即為正交基組；無冗余的框架是Riesz基．并構(gòu)造了適當?shù)姆蠢f明線性無關(guān)的框架不一定是無冗余的框架，正交基不一定都能構(gòu)成框架。 第三章首先介紹了希爾伯特變換的定義及其性質(zhì)．隨后在譜分解的基礎(chǔ)上介紹了一對二進小波基的設(shè)計方法．但是我們知道從一個已知的小波出發(fā)，利用它的希爾伯特變換來得到第二個小波，此時第二個小波不會是有限支撐的．所以在第三章的第二部分就設(shè)計

4、了一個有限支撐的小波去逼近無限支撐的小波．這個方法和Daubechies構(gòu)造帶有消失距的緊支撐小波的方法很相似，只是逼近希爾伯特變換要用到一個平坦延遲的濾波器。 第四章的第一部分介紹了索伯列夫空間的定義與索伯列夫空間的多分辨分析及其性質(zhì)。第二部分研究了當仿射框架的生成元滿足一定的正則性和消失距條件時，索伯列夫空間中的函數(shù)能以穩(wěn)定的方式進行雙框架分解．并且給出了索伯列夫空間函數(shù)的雙框架分解的三種結(jié)構(gòu)：齊次分解，非齊次分解與有限分解