關(guān)于古典風(fēng)險(xiǎn)模型的幾種拓展風(fēng)險(xiǎn)模型.pdf

1、一般來(lái)說(shuō),風(fēng)險(xiǎn)理論關(guān)注的是保險(xiǎn)公司的商業(yè)運(yùn)營(yíng),特別是公司的償付能力。保險(xiǎn)公司的基礎(chǔ)問(wèn)題是風(fēng)險(xiǎn)控制和分紅問(wèn)題。在文獻(xiàn)中,有各種各樣的衡量標(biāo)準(zhǔn)來(lái)處理這些問(wèn)題,如,破產(chǎn)概率,期望折扣分紅。風(fēng)險(xiǎn)理論的基礎(chǔ)模型是由F.Lundberg在1903提出的古典Cramer-Lundberg模型。這個(gè)模型是用一個(gè)具有時(shí)間齊次性和獨(dú)立增量性的復(fù)合泊松過(guò)程來(lái)描述的。從1903年以來(lái),作為精算數(shù)學(xué)的一部分,聚合風(fēng)險(xiǎn)理論已成為一支活躍的研究領(lǐng)域。特別的我們提及B

2、uhlmann和Gerber,他們是風(fēng)險(xiǎn)理論的先驅(qū)和開(kāi)拓者。正因?yàn)楣诺滹L(fēng)險(xiǎn)模型有著優(yōu)美而簡(jiǎn)單的性質(zhì),許多漂亮的結(jié)果得以獲得。直到上世紀(jì)90年代,這些結(jié)果主要體現(xiàn)在與保險(xiǎn)業(yè)密切相關(guān)的精算量的研究上,并且風(fēng)險(xiǎn)模型的范圍基本上局限于保險(xiǎn)人和被保險(xiǎn)人之間。 進(jìn)入二十一世紀(jì)以來(lái),與貨幣流通的各個(gè)領(lǐng)域的理論研究開(kāi)始出現(xiàn)了相互融合的趨勢(shì),特別是保險(xiǎn)方面的研究顯著地出現(xiàn)了與金融數(shù)學(xué)的研究相結(jié)合的特點(diǎn),并且不再僅僅局限在保險(xiǎn)人和被保險(xiǎn)人之間,例如

3、,分紅,再保險(xiǎn),利率,投資等等。而且,對(duì)保險(xiǎn)公司來(lái)說(shuō),時(shí)間齊次性和獨(dú)立增量性是不切實(shí)際的。因此,在最近的文獻(xiàn)中出現(xiàn)了各種各樣的拓展風(fēng)險(xiǎn)模型。在這兒,我們展示幾種拓展類。 首先,拓寬索賠間隔到達(dá)時(shí)間。放松索賠間隔到達(dá)時(shí)間指數(shù)分布的假設(shè),考慮更-般的Sparre Andersen模型,也就是說(shuō)間隔到達(dá)時(shí)間為任意的分布,可參看Dickson and Hipp(2001),Li and Garrido(2004),Gerber and

4、Shiu(2005)andLi and Garrido(2005)。 第二,放松索賠間隔時(shí)間和索賠量的獨(dú)立性假設(shè)。通常,對(duì)于上面提及的兩類風(fēng)險(xiǎn)模型(古典風(fēng)險(xiǎn)模型和更一般的Sparre Andersen model),索賠間隔時(shí)間和索賠量是獨(dú)立的。然而,存在著多種現(xiàn)實(shí)情況是這種假設(shè)是不合適的。比如,由于地震引起巨大災(zāi)難的公司,要更多考慮災(zāi)難的是在索賠之間的長(zhǎng)期行為。最近,Albrecher and Boxma(2004)and B

5、oudreault et al.(2006)提出了兩種不同且相反的依靠結(jié)構(gòu)以來(lái)修正古典風(fēng)險(xiǎn)模型,其中Boudreault et al.(2006)提出了下一個(gè)索賠量依靠上一個(gè)索賠間隔到達(dá)時(shí)間新型依靠結(jié)構(gòu)。 第三,添加另外一些索賠類或一些擾動(dòng)隨機(jī)過(guò)程。通常,古典風(fēng)險(xiǎn)模型有一個(gè)索賠類,Yuen et al. (2002)和Li et al.(2005d)研究了具有兩個(gè)索賠類的連續(xù)時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型,其中一個(gè)索賠數(shù)過(guò)程是Poisson過(guò)程,

6、另外一個(gè)是具有Erlang(2)(或一般Erlang(2))索賠間隔到達(dá)時(shí)間的更新過(guò)程。另外,在現(xiàn)實(shí)中保險(xiǎn)公司的收入也不是確定性的。例如,顧客數(shù)是波動(dòng)的,索賠到達(dá)密度也許是依靠時(shí)間的,索賠量和保費(fèi)是隨著通貨膨脹而增加的。為了描述這種不確定性,人們?cè)谠嫉娘L(fēng)險(xiǎn)模型中增加了一些隨機(jī)擾動(dòng)過(guò)程(例如布朗運(yùn)動(dòng)或levy過(guò)程)。 最后,進(jìn)行投資和再保險(xiǎn)。保險(xiǎn)公司有幾中措施可以采取。保險(xiǎn)公司有可能進(jìn)行投資和再保險(xiǎn)。通常,保險(xiǎn)公司能投資到風(fēng)險(xiǎn)市

7、場(chǎng)和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng),其中風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)的價(jià)格過(guò)程遵循著幾何布朗運(yùn)動(dòng)。除次之外,為減小大索賠帶來(lái)的影響,幾乎所有的保險(xiǎn)人都要進(jìn)行再保險(xiǎn)。有各種各樣的再保險(xiǎn)形式。比例再保險(xiǎn)和超額損失再保險(xiǎn)是兩類主要的保險(xiǎn)策略。 在這些背景基礎(chǔ)之上,我的博士論文主要致力于關(guān)于幾類拓展風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率(Gerber-Shiu函數(shù)),分紅問(wèn)題和最優(yōu)控制理論。論文組織如下。 在第一章,我們介紹了古典風(fēng)險(xiǎn)模型以及一些有用的定義,例如,破產(chǎn)概率,Gerber-

8、Shiu函數(shù)和期望折扣分紅。 在第二章,我們研究了帶擴(kuò)散擾動(dòng)的一類Sparre Andersen風(fēng)險(xiǎn)模型在門(mén)檻分紅策略下的期望折扣分紅,這種Sparre Andersen風(fēng)險(xiǎn)模型的索賠間隔到達(dá)時(shí)間有一個(gè)共同的一般Erlang(n)分布。在這種分紅策略下,我們假定如果余額在破產(chǎn)前超過(guò)某個(gè)門(mén)檻水平,分紅以不超過(guò)保費(fèi)率的常數(shù)率連續(xù)付出,如果余額在門(mén)檻之下,沒(méi)有分紅付出。我們?nèi)〉昧似谕劭鄯旨t函數(shù)所滿足的一些積分微分方程和更新方程。最后

9、,應(yīng)用這些結(jié)果到帶擾動(dòng)的索賠為指數(shù)分布的Erlang(2)風(fēng)險(xiǎn)模型,我們給了一些詳細(xì)表達(dá)和數(shù)值分析。 在第三章,我們考慮了由Boudreault et al(2006)提出的時(shí)間相依風(fēng)險(xiǎn)模型,也就是在索賠量Xk和索賠間隔時(shí)間Wk有一個(gè)依靠結(jié)構(gòu),即,我們假定c.d.f ofXk｜Wk是兩個(gè)分布函數(shù)F1和F2的一種特殊組合,在門(mén)檻分紅策略下,我們獲取了Gerber-Shiu折扣懲罰函數(shù)的兩個(gè)積分微分方程,其中一個(gè)方程的解能夠表達(dá)為沒(méi)

10、有門(mén)檻分紅策略下的Gerber-Shiu折扣懲罰函數(shù)和相應(yīng)齊次方程的兩個(gè)獨(dú)立解組合的和,另一個(gè)方程滿足缺陷更新方程。除次之外,我們研究了期望折扣分紅。通過(guò)同樣方式,得到了兩個(gè)積分微分方程,并且給出了解。 進(jìn)一步,我們考慮了索賠量依靠上一個(gè)索賠時(shí)間的離散時(shí)間類似風(fēng)險(xiǎn)模型,獲得了Geber-Shiu函數(shù)和分紅問(wèn)題相應(yīng)結(jié)果。 在第四章,我們考慮了具有兩類索賠類的離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型,其中從第一個(gè)索賠類的索賠間隔到達(dá)時(shí)間服從幾何分布

11、,從第二個(gè)索賠類的索賠間隔到達(dá)時(shí)間是兩個(gè)獨(dú)立的幾何分布隨機(jī)變量的和,這個(gè)模型的連續(xù)時(shí)間類似物已經(jīng)被Yuenet al(2002)和Li et al(2005d)研究過(guò)。我們注意到,在樣本軌道行為方面,這個(gè)離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型和被Yuen et al(2002)和Li et al(2005d)研究過(guò)的連續(xù)時(shí)間模型有些特別的不同。事實(shí)上,關(guān)于離散模型,在同一時(shí)刻有可能以正概率分別來(lái)自兩類索賠的跳(索賠),然而對(duì)于連續(xù)時(shí)間模型,在同一時(shí)刻以概率1

12、只有-個(gè)跳(索賠)。在這一章,我們?nèi)〉闷谕劭蹜土P函數(shù)的母函數(shù),當(dāng)從兩個(gè)索賠類的索賠服從幾何分布時(shí),詳細(xì)的結(jié)果得以獲取。 在第五章考慮了具有投資回報(bào)的古典風(fēng)險(xiǎn)模型。通常,對(duì)于這類風(fēng)險(xiǎn)模型很難求得破產(chǎn)概率或Gerber-Shiu函數(shù).應(yīng)用侯等(2003)有關(guān)馬爾可夫骨架過(guò)程的結(jié)果,我們給出了一個(gè)概率方法來(lái)獲取關(guān)于三個(gè)精算量(破產(chǎn)時(shí)間,破產(chǎn)前余額,破產(chǎn)赤字)的聯(lián)合密度的詳細(xì)表達(dá),這推廣了吳等(2005)關(guān)于帶常利率風(fēng)險(xiǎn)模型的相應(yīng)結(jié)果

13、。 在最后兩章,我們考慮了最優(yōu)控制問(wèn)題。最近,最優(yōu)動(dòng)態(tài)可控問(wèn)題在數(shù)理金融中引起了人們極大的關(guān)注。一個(gè)保險(xiǎn)公司可以通過(guò)諸如在保險(xiǎn),投資,分派紅利等商業(yè)手段來(lái)控制自己的風(fēng)險(xiǎn)。 在第六章,我們考慮了兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)模型：擴(kuò)散模型和Cramer-Lundberg模型。另外,每一個(gè)余額過(guò)程都取得利息收入。有一個(gè)很古典的問(wèn)題是,尋求最優(yōu)分紅策略使得期望折扣分紅達(dá)到最大。然而,為了迎合實(shí)際問(wèn)題需要,目標(biāo)函數(shù)也許有另外的量。受Thonhause

14、r and Albrecher(2007)啟發(fā),我們把保險(xiǎn)人的賺頭加入要考慮的量,也就是值函數(shù)是V(c,L)=E(∫7 0e-βtdLt+∫7 0e-βt∧dt|R K O=x),這里,常數(shù)Λ≥0。我們稱上面的表達(dá)為T(mén)-A目標(biāo)函數(shù)。對(duì)于帶常利率擴(kuò)散模型和帶常利率的具有指數(shù)索賠的Cramer-Lundberg模型,通過(guò)隨機(jī)控制理論(HJB方程)問(wèn)題得以解決：對(duì)于有界分紅率,最優(yōu)分紅策略是門(mén)檻策略；對(duì)于無(wú)界分紅率,最優(yōu)分紅策略是邊界策略。