Dynkin型cluster傾斜代數(shù)及m-cluster傾斜代數(shù).pdf

1、2002年,Fomin和Zelevinsky在文[FZ1,FZ2]中引入了cluster代數(shù)的概念,用來研究量子群的典范基和代數(shù)群的整體正性之間的聯(lián)系.這種理論很快就和數(shù)學(xué)中的許多分支產(chǎn)生了密切的聯(lián)系(參見[FZ3]).特別是近幾年,cluster代數(shù)及其組合理論給有限維代數(shù)表示理論帶來了很大的影響.文[BMRRT]引入了cluster范疇和cluster傾斜理論的概念,成為更好的理解Fomin和Zelevinsky的cluster代數(shù)

2、的一個(gè)范疇化模型.設(shè) H是代數(shù)閉域上的有限維遺傳代數(shù),Db(H)是H的有界導(dǎo)出范疇,cluster范疇 l(H)定義為軌道范疇 Db(H)/τ-1[1],其中τ是 Db(H)中的Auslander-Reiten變換,[1]是 Db(H)中的平移函子.Cluster范疇 l(H)中的cluster傾斜對(duì)象與cluster代數(shù)的cluster一一對(duì)應(yīng).
　　 Cluster范疇的cluster傾斜理論完善了有限維代數(shù)表示理論中的經(jīng)典

3、傾斜理論,cluster傾斜對(duì)象的自同態(tài)代數(shù)稱為cluster傾斜代數(shù).近年來,對(duì)這一類代數(shù)的大量研究表明,它們具有很多好的性質(zhì),例如這是一類非平凡的1-Goreustein代數(shù).參見文[BMR1,BMR2,ABS1,KR1].
　　 在Dynkin型cluster范疇和cluster傾斜代數(shù)方面,P.Caldero,F.Chapoton和R.Schiffler在文[CCS1]中建立了 An型 cluster范疇的幾何模型,為我

4、們研究 cluster范疇提供了-個(gè)新的思路.隨后,R.Schiffler在文[Sch]中構(gòu)造了 Dn型 cluster范疇的幾何模型.
　　 作為cluster范疇的推廣,H.Thomas在文[Th]引入了 m-cluster范疇的概念.m-cluster范疇 lm(H)定義為軌道范疇 Db(H)/τ-1[m].隨后,m-cluster傾斜對(duì)象和m-cluster傾斜代數(shù)也被引入.若m-cluster范疇 lm(H)上的一個(gè)對(duì)

5、象 T滿足以下條件:
　　 ·Hom lm(H)(T,X[i])=0,1≤i≤m,當(dāng)且僅當(dāng) X∈add(T),
　　 ·Hom lm(H)(X,T[i])=0,1≤i≤m,當(dāng)且僅當(dāng) X∈add(T),則稱 T為m-cluster傾斜對(duì)象.m-cluster傾斜代數(shù)End lm(H)(T)op為m-cluster傾斜對(duì)象 T的自同態(tài)代數(shù).在這方面的研究,參見文[BaM1,BaM2,HJ1,HJ2,KR1,KR2,IY,P,

6、Wr,Zh3,ZZ].
　　 本文分兩部分:第一部分,我們研究了 Dn型 cluster傾斜代數(shù),分類了所有的Dn型 cluster傾斜代數(shù)的箭圖,并給出了兩個(gè) Dn型 cluster傾斜代數(shù)同構(gòu)的充要條件.第二部分,我們研究了 An型 m-cluster傾斜代數(shù),給出了 An型 m-cluster傾斜代數(shù)連通的充要條件,進(jìn)-步得到了兩個(gè)連通的An型 m-cluster傾斜代數(shù)同構(gòu)的充要條件.
　　 第一章給出引言和預(yù)備

7、知識(shí).介紹了與本論文有關(guān)的基本概念和結(jié)果,并闡述了論文的工作背景和思路.
　　 第二章利用 R.Schiffler在文[Sch]構(gòu)造的幾何模型進(jìn)-步對(duì) Dn型 cluster傾斜代數(shù)進(jìn)行研究.首先,我們給出了穿刺多邊形 Pn中由標(biāo)記弧構(gòu)成的三角的等價(jià)分類.進(jìn)-步,我們得到了Dn型箭圖的mutation等價(jià)類和所有的Dn型 cluster傾斜代數(shù)的箭圖,并且我們還給出了它們的關(guān)系理想.最后我們給出了兩個(gè) Dn型 cluster傾斜

8、代數(shù)同構(gòu)的充要條件.主要結(jié)果如下:
　　 定理2.2.5.箭圖 Q是 Dn型cluster傾斜代數(shù)的箭圖當(dāng)且僅當(dāng)箭圖Q屬于2.2節(jié)描述的四種類型中的一種.
　　 定理2.3.1.設(shè)T和T'是 Dn(n≥5)型cluster范疇 l(H)中的兩個(gè)cluster傾斜對(duì)象,Γ=End l(H)(T)op與Γ'=End l(H)(T')op是相應(yīng)的cluster傾斜代數(shù).則Γ和?！瑯?gòu)的充要條件是存在整數(shù)i和j使得 T=τiT'

9、或 T=στjT',其中τ是Auslander-Reiten變換,σ是l(H)的-個(gè)自同構(gòu)函子(σ的定義見2.3節(jié)).
　　 第三章,我們利用 K.Baur和R.Marsh建立的An型 m-cluster范疇的幾何模型進(jìn)-步對(duì) An型 m-cluster傾斜代數(shù)進(jìn)行研究.我們討論了由 m-cluster傾斜對(duì)象構(gòu)成的傾斜圖的連通性,給出了 An型 m-cluster傾斜代數(shù)連通的充要條件,并且還證明了兩個(gè)連通的An型 m-clu

10、ster傾斜代數(shù)同構(gòu)的充要條件.主要結(jié)果如下:
　　 定理3.2.7.設(shè)Ⅱ是(n+1)m+2多邊形,∑m是由Ⅱ中的m-對(duì)角線分割構(gòu)成的m-mutation無向圖.則∑m是連通的.即:An型 m-cluster范疇的傾斜圖是連通的.
　　 定理3.2.9.設(shè) T是An型 m-cluster范疇中的一個(gè)cluster傾斜對(duì)象,B=End lm(H)(T)op是相應(yīng) m-cluster傾斜代數(shù).則 B是連通的充要條件是對(duì) T中

11、任意一個(gè)不可分解直和項(xiàng) M都存在 T中的另-個(gè)不可分解直和項(xiàng) N使得 M和 N在同一個(gè)ray或coray中.
　　 定理3.2.10.設(shè)∑'m是由 An型m-cluster范疇中連通的m-cluster傾斜對(duì)象構(gòu)成的傾斜圖,則∑'m是連通的.
　　 定理3.3.3.設(shè)T和 T'是 An型 m-cluster范疇 lm(H)中的兩個(gè)連通的m-cluster傾斜對(duì)象,B=End lm(H)(T)op與 B’=End lm(H