r39;2n中星形超曲面上的lagrange軌道和正定型超曲面上的閉特征

1、南 開(kāi)大 學(xué)Y 9 6 8 9 3 2博士研究生畢業(yè)( 學(xué)位) 論文論文題目： R 2 “中星形超曲面上的L a g r a n g e 軌道和正定型超曲面上的閉特征姓 名： 郭飛年 級(jí)： 二o o 三級(jí)專(zhuān) 業(yè)： 基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究方向： 非線性分析指導(dǎo)教師： 劉春根教授o o 六年四月! ! 擅塞本文的第一章研究星形能量面上具有L a g r a n g e 邊值的H a m i l t o n 系統(tǒng)的軌道的存在性和多重性問(wèn)題首先，利用變分

2、原理討論了R 2 n 中的以原點(diǎn)為星形中心的星形超曲面上的L a g r a n g e 邊值軌道的存在性．然后，利用z 。指標(biāo)理論討論了R 抑中的關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)且以原點(diǎn)為星形中心的星形超曲面上的L a g r a n g e 邊值軌道的多重性本文證明了下面一些結(jié)論：定理l 對(duì)I p 中的每一個(gè)L a g r a n g e 子空間L ，每一個(gè)e 1 光滑緊星形超曲面上( 原點(diǎn)為星形中心) 至少存在一個(gè)起止于L 的L a g r 粕g e

3、 軌道．定理2 對(duì)I p 中的每一個(gè)L a g r a n g e 子空間L ，每一個(gè)C 2 光滑的關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的緊星形超曲面上( 原點(diǎn)為星形中心) 有無(wú)窮多個(gè)起止于L 的L a g r a n g e 軌道．由這里的定理2 我們馬上可以得到一個(gè)關(guān)于相交數(shù)的結(jié)果：推論3 若∑是一個(gè)G 2 光滑的關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的星形超曲面( 原點(diǎn)為星形中心) ，∥是∑的c o n t a c tH a m i l t o n 流，設(shè)L 7 是∑與L a g

4、 r a n g e 子空間L 相交得到的L e g e n d r e 子流形，則L ’與{ ∥( L 川t > 0 ) 的相交數(shù)是無(wú)窮多個(gè)，即一o { L 7 n { 妒。( ∥) l t > o ) } = o 。在文[ 3 】和[ 4 】中，K ．M o h n k e 和馬仁義、徐向東分別用不同于我們的方法證明了類(lèi)似定理1 的存在性結(jié)果．【3 】用的方法主要是幾何( 辛拓?fù)? 的方法，【4 ] 雖然也是用變分方法，

5、但也與我們這里的方法不同．據(jù)我們所知，此前在這類(lèi)問(wèn)題上僅有上面提到的文[ 3 】和【4 ] 的關(guān)于存在性的結(jié)果，我們這里的定理2 是這類(lèi)問(wèn)題的第一個(gè)關(guān)于多重性的結(jié)果．事實(shí)上，對(duì)于一般的星形超曲面，上述問(wèn)題存在兩個(gè)解的問(wèn)題也沒(méi)有被解決．對(duì)于H a m i l t o n 系統(tǒng)周期解的研究可以從兩個(gè)方面來(lái)考慮：一方面，對(duì)于非自治的H a I I l i l t o n 系統(tǒng)，給定周期，考慮其周期解的存在性( 例如最小周期問(wèn)題、漸近線性系統(tǒng)的