圖在曲面上嵌入的分類.pdf

1、本文對(duì)圖在曲面上嵌入的分類進(jìn)行了研究，即確定圖在同一曲面上（不等價(jià)的）嵌入的數(shù)目。這一問題是拓?fù)鋱D論中關(guān)于圖的嵌入的研究中的重要問題。文中圖均為連通圖，曲面為無邊緣的緊2-維流形，圖G在曲面S上的一個(gè)嵌入是指存在一個(gè)1-1連續(xù)映射h：G→S，使得S-h（C）的每個(gè)連通分支均為一個(gè)2-胞腔，此種嵌入也被稱為一般嵌入。圖G在曲面S上的兩個(gè)嵌入h：G→S和g：G→S被稱為是等價(jià)的是指存在一個(gè)可定向保持同胚f：S→S使得foh=g．對(duì)這一問題的

2、研究可追溯到J．L．Gross和M．L．Furst在上世紀(jì)八十年代對(duì)圖的嵌入的不變量的研究，之后很多學(xué)者便圍繞這一問題進(jìn)行了研究及拓展。本研究分為八個(gè)部分： 第一章首先對(duì)圖的曲面嵌入的相關(guān)概念及研究背景做了簡(jiǎn)要介紹。隨后，介紹了曲面的多邊形表示、代數(shù)表示、其上的拓?fù)溥\(yùn)算及曲面分類，詳細(xì)描述了本文中使用的劉彥佩教授提出的嵌入的聯(lián)樹模型。最后，對(duì)文章結(jié)構(gòu)及各章內(nèi)容進(jìn)行了介紹。 第二章主要研究了輪圖在小虧格曲面上嵌入的個(gè)數(shù)，得

3、到了輪圖在環(huán)面，雙環(huán)面，射影平面，Klein瓶及虧格為3和4的不可定向曲面上嵌入的個(gè)數(shù)，同時(shí)也得出了雙極圖在虧格為1-4的不可定向曲面上嵌入的數(shù)目。 第三章研究了環(huán)束在射影平面和Klein瓶上嵌入的數(shù)目及結(jié)構(gòu)，大大簡(jiǎn)化了已有結(jié)果。 第四章在輪圖的基礎(chǔ)上定義了一類更為復(fù)雜的三連通圖，稱之為偽輪圖，給出了偽輪圖在射影平面上三種嵌入，即一般嵌入，弱嵌入和強(qiáng)嵌入的個(gè)數(shù)。 第五章研究了兩類梯圖，即圈梯圖和Mobius梯圖在

4、射影平面和Klein瓶上一般嵌入和強(qiáng)嵌入的個(gè)數(shù)。 第六章給出了一類四正則圖的完全虧格分布，并且推導(dǎo)出已有結(jié)果的兩類圖的完全虧格多項(xiàng)式，本文中的結(jié)果形式更為簡(jiǎn)單。 第七章給出了以上一些結(jié)論與方法在地圖計(jì)數(shù)方面的一些應(yīng)用．推導(dǎo)出了單頂點(diǎn)地圖在射影平面和Klein瓶上的（不同構(gòu)的）個(gè)數(shù)，及（p，q，n）-雙極地圖在射影平面和Klein瓶上的（不同構(gòu)的）個(gè)數(shù)。 第八章提出了一些有待于進(jìn)一步研究的問題，如輪圖的完全虧格分布