《抽象與概括》ppt課件

1、第十七章抽象與概括,第一節(jié) 抽象概述與過程,1、抽象概述 抽象是對同類事物抽取其共同的本質(zhì)屬性或特征，舍去其非本質(zhì)的屬性或特征的思維過程。 一般說來，人在思維過程中是把客觀事物的某一方面特征與其他特征分別開來給予單獨考慮的，當(dāng)然，還同時要求用概念、范疇、判斷、理論等思維形式來固定這種“單獨考察”的結(jié)果。 實際上，抽象是與具體相對應(yīng)的概念，具體是事物的多 種規(guī)定性的總和，因而抽象亦可理解為由具體事物的多種性

2、質(zhì)中舍棄了若干性質(zhì)而固定了另一些性質(zhì)的思維活動。,抽象對于認(rèn)識世界有著重要的意義，對數(shù)學(xué)認(rèn)識也具有十分重要的意義。 在數(shù)學(xué)中，抽象可以用于“抽象的產(chǎn)物”、“抽象的過程”和“抽象的方法”等幾個意義。 當(dāng)我們說數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)理論等深刻地反映著現(xiàn)實世界時，所指的就是抽象的產(chǎn)物、思維結(jié)果的抽象； 當(dāng)我們說由具體的量“抽象”出自然數(shù)的概念，由種種距離的測定中抽象出測度的概念時，所指的就是作為過程和方法的抽象。,2、抽象過程

3、 從感性認(rèn)識出發(fā)，通過分析和比較，抽出共同點，撇開差異性的內(nèi)容和聯(lián)系，通過綜合得出簡單的、基本的規(guī)定，這就是合理的抽象。 分析、比較和綜合是抽象的基礎(chǔ)，沒有分析、比較和綜合，就找不到事物的異同，也不能區(qū)分事物的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性。 在抽象過程中，分析、比較和綜合相互作用、相互滲透，抽象的具體過程也干差萬別，但都包括如下基本過程：分離、提純、簡略。,⑴分離，就是暫時不考慮研究對象與其他各個對象之間的種種聯(lián)系。分離本身就是一種

4、抽象，這是抽象的第一步。【例】研究某事物的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，就撇開其物理、化學(xué)、生物等現(xiàn)象，確把特定的數(shù)學(xué)現(xiàn)象從總體現(xiàn)象中抽取出來。 ⑵提純，就是在思維中排除那些模糊的基本過程以及忽略非本質(zhì)因素，在純粹狀態(tài)下對研究對象的性質(zhì)和規(guī)律進(jìn)行考察。這是抽象過程中最關(guān)鍵的一步。 ⑶簡略就是對提純結(jié)果所作的必要處理，即對研究結(jié)果的一種簡化表達(dá)方式。簡略也是一種抽象，而且是抽象過程的一個必要環(huán)節(jié)。,【例】平行線概念的形成， 觀察“黑板相對

5、的兩邊”、“筆直的兩條鐵軌”等事物， 撇開它們的不同用途、不同質(zhì)地的材料、不同的設(shè)置、不同的長短等屬性， 通過分離，把黑板兩邊的關(guān)系和兩條鐵軌的關(guān)系抽取出來，提純得到“在同一平面內(nèi)永不相交”這一本質(zhì)屬性， 簡略得到上面的簡化表達(dá)方式后，最后定性定量地抽象表述為“在同一平面內(nèi)永不相交的兩條直線叫平行線”。,在對事物進(jìn)行抽象時還要按照以下原則進(jìn)行： 規(guī)則l：只有對具有確定聯(lián)系的對象，或使分析有意義的對象才能進(jìn)

6、行比較。【例】實數(shù)與復(fù)數(shù)在性質(zhì)上具有確定的聯(lián)系，可以進(jìn)行比較；三角形的邊長和函數(shù)的可導(dǎo)性之間就沒有確定的聯(lián)系，不能進(jìn)行比較。 規(guī)則2；比較應(yīng)在同一標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行。要比較什么由抽象的需要決定，但在一種比較中要按同一標(biāo)準(zhǔn)?！纠咳切慰梢员容^它的邊，也可以比較它的角，也可以同時比較它的邊和角，但不能將一個邊和一個角來進(jìn)行比較。,規(guī)則3：比較應(yīng)能按一定的程序進(jìn)行并在有限步內(nèi)得出結(jié)果。 這一規(guī)則保證“比較”能夠“有效”的進(jìn)行?！纠?/p>

7、自然數(shù)“大小”的比較就是符合這條規(guī)則的，它可按下述程序進(jìn)行： ①位數(shù)不同的，位數(shù)較多的自然數(shù)較大； ②位數(shù)相同的，先比較最高位的數(shù)，若不等，則大小已判明；若相等，再比較下一位的數(shù)是否相等，等等； 因為比較的兩個自然數(shù)都是有限的，因此這個比較能在有限步內(nèi)得出結(jié)果。,規(guī)則4：對同一性質(zhì)作的比較應(yīng)在所研究的所有對象間進(jìn)行，也可以說，要進(jìn)行完全比較?！纠繉ψ匀粩?shù)能否被其他數(shù)整除作比較，可以發(fā)現(xiàn)，有的自然數(shù)除了1

8、和其自身外不能被其他自然數(shù)整除，有的有兩個以上小于其本身的、除1以外的因數(shù)。 如果不比較l，那么這個比較就是不完全的。通過合乎規(guī)則的比較，就可以進(jìn)一步對對象進(jìn)行分析，根據(jù)對象的共同點和不同點把對象分為不同的類。 通過上例，我們可以進(jìn)一步把自然數(shù)分為：1、質(zhì)數(shù)和合數(shù)三類。,第二節(jié) 數(shù)學(xué)抽象的特征,數(shù)學(xué)抽象有以下特征： ⑴數(shù)學(xué)抽象具有無物質(zhì)性 數(shù)學(xué)抽象擺脫了客觀事物的物質(zhì)性質(zhì)，從中抽取其數(shù)與形，因而

9、數(shù)學(xué)抽象具有無物質(zhì)性。 ⑵數(shù)學(xué)抽象具有層次性 數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果，但是不同的數(shù)學(xué)概念又表現(xiàn)出數(shù)學(xué)抽象的層次性。,【例】自然數(shù)概念是從客觀事物中抽象出來的，字母a表示的數(shù)是在對數(shù)的抽象后的結(jié)果。 如a=bq，(a，b，q∈z)就是對許多具體的整數(shù)的整除性的抽象的結(jié)果。 如果說數(shù)的抽象是一級抽象，那么字母表示的數(shù)的抽象就是二級抽象，進(jìn)而還有三級、四級抽象，等等。⑶數(shù)學(xué)抽象過程要憑借分析或直覺。

10、在數(shù)學(xué)抽象中，表現(xiàn)為分析型抽象的一般模式為:,對象,分離→提純→簡略,概念,,,分析型抽象中的分離，就是把事物的本質(zhì)特征從事物的所有屬性中分離出來； 提純就是把分離出來的本質(zhì)特征加以提煉，即把其中的非本質(zhì)屬性排除出去； 簡略就是把提純出來的事物本質(zhì)特征加以簡化，把那些多余的屬性省去。 直覺型抽象，就是不通過分析過程或邏輯思維過程而一下子抓住事物的本質(zhì)特征的一種抽象過程。,【例】圓的切線是與圓只有一個交點的直線，

11、就是能夠通過直覺去把握它的一種數(shù)學(xué)概念。對它的抽象要借助于直覺。 但直覺并非一定正確，直覺只是發(fā)現(xiàn)的一種工具。只有經(jīng)過證明的概念才是正確的?！纠繄A錐曲線的切線并非一定是與曲線只有一個交點的直線，有時與曲線只有一個交點的直線是割線而非切線。,在教學(xué)中，抽象的具體形式，按其內(nèi)容特點來劃分，大致分為兩大類。①表征性抽象 表征性抽象是在純粹的理想的形態(tài)下，以可觀察的事物現(xiàn)象的特征作為起點的一種抽象，數(shù)學(xué)中大多數(shù)概念就是

12、表征性抽象的結(jié)果?！纠糠?jǐn)?shù)概念的形成。 講述分?jǐn)?shù)的意義時，往往通過演示教具和操作工具，讓學(xué)生把一個圓， 一個正方形，八根彩色小棒，一條線段，各自分成若干等份，標(biāo)出其中的一份或幾份；然后撇開各種實物的不同顏色、形狀，而僅僅注意它們等分的份數(shù)以及所取的幾份。,第三節(jié) 抽象類型,多次操作后，結(jié)合直觀圖示得出：“把單位1(可以是一個物體，也可以是幾個同類的物體)平均分成幾份，表示其中的一份或幾份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)”。 然后再介

13、紹分?jǐn)?shù)的表示方法及分?jǐn)?shù)各部分的名稱，最后再讓學(xué)生舉出幾個不同的分?jǐn)?shù)并說出它們表示的意義。 這樣，通過動作思維——建立表象——抽象思維——具體實例，分?jǐn)?shù)的概念在學(xué)生頭腦中就初步形成了。,②原理性抽象 原理性抽象是在表征性抽象的基礎(chǔ)上形成的更高一個層次上的抽象。 原理性抽象已超出一般感性認(rèn)識的范圍，它把握事物的因果關(guān)系及規(guī)律性的聯(lián)系。這種抽象的結(jié)果則是性質(zhì)、定理、原理等。【例】同分母加法法則的歸納。 第一步，

14、由觀察圖形的合并，抽象為分?jǐn)?shù)的加法運算。在這里擺脫了圖形是圓或長方形等非本質(zhì)特征，抽取出表示整體與部分的關(guān)系的數(shù)，并把“合并”轉(zhuǎn)化為加法運算，從圖示中理解同分母加法的運算意義。,+,=,+,=,+,=,+,=,這里舍棄兩個加法算式中具體的數(shù)量不相同的非本質(zhì)特征，抽出它們共同的本質(zhì)特征——每道算式的分母相同，以及分?jǐn)?shù)的單位相同，所以分母不變，分子直接相加。 由此將上面的運算抽象概括為數(shù)學(xué)語言：“同分母分?jǐn)?shù)相加，把分子相加，分母不

15、變”。,第二步，觀察思考兩道算式的共同特征是什么?,第三步，運用法則，開展演繹。考慮到提供抽象材料的完整性，再組織計算：,------- 約分,------- 約分，化為整數(shù),---- 約分，化為帶分?jǐn)?shù),然后進(jìn)一步抽象出：“計算結(jié)果后，能約分的要約分，是假分?jǐn)?shù)的要化成帶分?jǐn)?shù)或整數(shù)?！?最后綜合為完整的數(shù)學(xué)結(jié)論： 同分母分?jǐn)?shù)相加，分子相加，分母不變，應(yīng)注意結(jié)果，能約分的要約分，是假分?jǐn)?shù)的要化成帶分?jǐn)?shù)或整數(shù)。,第四節(jié) 概括

16、概述與過程,1、概括概述概括是一種由個別到一般的認(rèn)識過程。 概括就是把同類事物的共同屬性聯(lián)結(jié)起來，或把個別事物的某些屬性推廣到同類事物中去的思維方法。與抽象一樣，概括這一概念也是既作為一種思維過程又可以作為這種思維過程所得到的結(jié)果來理解的。,當(dāng)我們說從個別事物的本質(zhì)屬性概括出同類事物的共同本質(zhì)屬性時，所用的就是“思維過程”的含義； 當(dāng)我們說數(shù)學(xué)概念是對客觀世界的某一領(lǐng)域的性質(zhì)的高度概括時，所用的就是“思維結(jié)果”的意義

17、。 2、概括過程概括通常可分為經(jīng)驗概括和理淪概括兩種。 ⑴經(jīng)驗概括是從事實出發(fā)，以對個別事物所做的觀察陳述為基礎(chǔ)，上升為普遍的認(rèn)識——由對個體特性的認(rèn)識上升為對個體所屬的種的特性的認(rèn)識。,⑵理論概括則是指在經(jīng)驗概括的基礎(chǔ)上，由對種 的特性的認(rèn)識上升為對種所屬的屬的特性的認(rèn)識，從而達(dá)到對客觀世界的規(guī)律的認(rèn)識。 在數(shù)學(xué)中經(jīng)常使用的是理論概括。一個概括過程包括比較、分析和擴張等幾個主要環(huán)節(jié)。⑴比較和分析的具體做法

18、與抽象過程中的一樣，不過在概括過程中，通過比較和分析要得到的是某類對象的共同本質(zhì)。⑵擴張指的是把由比較分析得到的關(guān)于對象的共同點推廣到包括這些對象的一類更廣泛的對象的共同本質(zhì)。這是區(qū)別于抽象的一個環(huán)節(jié)，是概括的關(guān)鍵。,【例】概括自然數(shù)求和公式。由計算知：,通過對以上9個算式的比較、區(qū)分可得出一個共同點：連續(xù)若干個從1開始的自然數(shù)的和，等于最后的那個數(shù)乘以其后繼數(shù)的積的一半。,把這個共同點推廣到所有的自然數(shù)，則有：,在擴張中得到的關(guān)于

19、更廣泛的一類對象的新概念或新命題，對擴張了的對象來說不一定是真的。為此，就要進(jìn)行分析。 分析實際上是一個演繹證明的過程，必須證明擴張得出的結(jié)果確實是或不是那一類更廣泛的對象的本質(zhì)屬性。,3、概括與抽象的關(guān)系概括方法與抽象方法是不同的，但是它們又有十分密切的聯(lián)系。抽象是舍棄事物的一些屬性而提純固定出其固有的另一些屬性的思維過程。 抽象得到的新概念與表述原來的對象的概念之間不一定有種屬關(guān)系?！纠课覀儚默F(xiàn)實存在的事

20、物中抽象出“重量”概念來，它與原來的“物體”并無種屬關(guān)系。,概括是在思維中由認(rèn)識個別事物的本質(zhì)屬性，發(fā)展到認(rèn)識具有這種本質(zhì)屬性的一切事物，從而形成關(guān)于這類事物的普遍概念。 由概括得出的新概念是表述概括對象概念的一個屬概念?！纠吭跀?shù)學(xué)中可由平行四邊形、菱形等圖形概念概括出“四邊形”概念，它是前幾個概念的屬概念， 還可以進(jìn)一步由四邊形、三角形等概念概括出“凸多邊形”的概念，它又是四邊形、三角形等概念的屬概念。,概括和抽

21、象雖有差別，但又是互相聯(lián)系、密不可分的。 抽象是概括的基礎(chǔ)，沒有抽象就不能認(rèn)識任何事物的本質(zhì)屬性，就無法概括。 概括也是抽象思維過程中所必須的一個環(huán)節(jié)，前述“提純”操作實際上也是一個概括過程，有人就把“提純”稱之為概括，由于對共同點的概括才能得出對象的本質(zhì)屬性，從而完成抽象過程。 科學(xué)概念通常是抽象和概括共同采用的結(jié)果。,一般說來，概括的范圍越廣泛，得到的概念的內(nèi)涵就越少，即是說它所反映的事物的性質(zhì)越普遍，實際反

22、映的性質(zhì)就越少。 因而從抽象的角度來看，其抽象程度也就越高；而概括范圍較狹窄的概念，也就是比較具體的概念。 反之，抽象程度越高的概念，其提純的規(guī)范性就越少，反映的事物的本質(zhì)屬性就越多，因而其概括的范圍就越大；而較具體的概念，由于它反映著事物的較多的規(guī)定性，因而反映的事物就越少，其概括的范圍也就越小。由于抽象和概括是密切聯(lián)系的兩種方法。因此，人們常將抽象方法和概括方法統(tǒng)稱為抽象概括方法。,第五節(jié) 抽象與概括應(yīng)用舉例,1、抽

23、象分析方法及數(shù)學(xué)模型的基本思想抽象本身就是分析的特殊形式。在數(shù)學(xué)中，我們常用抽象加分析構(gòu)成的抽象分析方法，把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型是指將一類事物或運動過程，用數(shù)學(xué)概念、公式以及邏輯關(guān)系從數(shù)量上加以描述，使人們能更深刻、更準(zhǔn)確地認(rèn)識其數(shù)量關(guān)系，把握它的結(jié)構(gòu)特征。數(shù)學(xué)模型的含義，從廣義上講，一切數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)公式、方程式、函數(shù)關(guān)系、數(shù)學(xué)理論體系，以及由公式系列構(gòu)成的算法系統(tǒng)，都可稱為數(shù)學(xué)模型，它們都是從各種相應(yīng)的現(xiàn)實原

24、型中抽象出來的。,【例】自然數(shù)集是用以描述離散型數(shù)量的數(shù)學(xué)模型； 函數(shù)y=kx(k≠0)是一類具有正比例關(guān)系應(yīng)用題的數(shù)學(xué)模型。 按狹義的解釋，數(shù)學(xué)模型指反映特定的問題或特定的數(shù)學(xué)關(guān)系的結(jié)構(gòu)?！纠亢筒睢⒑捅秵栴}、求平均數(shù)或行程問題、按比例分配問題、雞兔同籠問題、一筆畫成、勾股數(shù)等等，都叫做數(shù)學(xué)模型。,把數(shù)學(xué)材料抽象概括成一定的關(guān)系和模式，可以使解題時，通過識別關(guān)系和模式，迅速找到解題途徑，從而使思維簡化、推理過程縮短

25、。 這種將數(shù)學(xué)材料形式化、結(jié)構(gòu)化的過程，也就是抽象概括的過程。2、實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型 解答應(yīng)用題的實質(zhì)，是先把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，再研究數(shù)學(xué)模型中的數(shù)量關(guān)系，找到解題途徑，最后得到問題的解答。 整個過程經(jīng)過兩次抽象：實際問題——數(shù)量關(guān)系的問題——數(shù)學(xué)表達(dá)式。,【例】路線問題。 下圖表示一幅道路交通圖，從A點的家里到B點的輪渡碼頭，不準(zhǔn)繞道，只能向前，不能向后，只能向右，不能向左。問有幾條路可走?

26、,【分析】這是一個實際問題，由于道路較多，難于逐條道路計數(shù)，。但我們可以將問題符號化、圖形化，以便進(jìn)行抽象分析，尋找規(guī)律。【思路一】把路線數(shù)字化。在各路口交叉處標(biāo)上數(shù)碼，并進(jìn)行分析、統(tǒng)計：,⑴第一條路線：1、2、3、4、8、12、16；⑵第二條路線：1、2、3、7、8、12、16；⑶第三條路線：1、2、3、7、11、12、16； ………,把問題數(shù)字化后， 比較清楚，得到明顯的解題模型為：數(shù)字變化只能增加，不可減少。

27、 但由于數(shù)字較多規(guī)則不明顯，難以進(jìn)行統(tǒng)計?！舅悸范堪崖肪€圖形化。把行進(jìn)路線用一種直觀的圖形符號顯示出來。例如向前行進(jìn)一段用“↑”表示，向右行進(jìn)一段用“→”表示，于是，思路一,中的各條路線抽象成為如下形式：⑴第一條路線：↑↑↑→→→；⑵第二條路線：↑↑→↑→→；⑶第三條路線：↑↑→→↑→； ………,于是路線的規(guī)律十分明顯：從圖形上看出，每條路線都有三個“↑”和三個“→”，只要把三個“↑”和三個“→”進(jìn)行不同的排列，就

28、是不同的路線。 從而，計算兩組六個符號的排列數(shù)：由于只要確定了三個“↑”的位置，另三個“→”的,位置也同時確定了。 可知，共有可走路線數(shù),【例】甲、乙兩個化肥廠共生產(chǎn)90萬噸化肥，已知甲廠產(chǎn)量的2/5等于乙廠產(chǎn)量的1/2，求兩廠各生產(chǎn)多少化肥?(列方程求解)【解】設(shè)甲廠產(chǎn)量為x萬噸，則乙廠產(chǎn)量為90－x萬噸， 把反映等量關(guān)系的語言“甲廠產(chǎn)量的2/5等于乙廠產(chǎn)量的1/2”譯成方程，得,解之得x=50 (萬噸)。

29、,數(shù)學(xué)中列方程解應(yīng)用題的實質(zhì)，就是使用抽象分析法，先是分析條件與問題，然后就是抽象，將未知量轉(zhuǎn)化為字母x，接著進(jìn)一步分析題中的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)行一次原理性抽象，抓住數(shù)量之間的等量關(guān)系，并用數(shù)學(xué)語言表示出來，即列出方程，最后是解方程。一般地，解題難度產(chǎn)生于第二次抽象過程中，即分析等量關(guān)系和列出方程這兩個步驟。從培養(yǎng)抽象分析能力的角度思考，列方程解應(yīng)用題應(yīng)注意以下幾點：,⑴擺脫算術(shù)解法的束縛和干擾。 應(yīng)注意把要求的未知數(shù)x看作已

30、知條件，將其與原有的已知條件放在一起分析并參加列式。為掌握根據(jù)等量關(guān)系布列方程的方法，應(yīng)掌握簡易方程的一些最基本形式，如ax+b=c等。 除注意根據(jù)題意把方程寫完全的類型題外，還應(yīng)注意看圖列方程的類型，列方程思考過程比較直接、明快，特別是一些需要逆向思考的問題，列方程求解比較容易做到。⑵進(jìn)行語言文字與方程的“互譯”訓(xùn)練。 結(jié)合解方程，多進(jìn)行列方程解文字?jǐn)⑹鲱}的訓(xùn)練。解這類題目，首先是設(shè)所求的未知數(shù)為x，再將文字?jǐn)⑹龅?/p>

31、數(shù)量關(guān)系按敘述的順序翻譯成方程并求出其解。,也可以進(jìn)行一些把方程翻譯成語言的訓(xùn)練，讀法不拘一格，只求正確運用和、差、積、商、多、少、倍、分等術(shù)語，注意正確表達(dá)數(shù)量關(guān)系及運算順序。⑶注意尋找等量關(guān)系、列出方程。 ①直接從題目敘述中尋找； ②借助線段圖尋找； ③運用計算公式和聯(lián)想常用數(shù)量關(guān)系尋找。,⑷適當(dāng)進(jìn)行簡單方程變形的練習(xí)。 適當(dāng)選擇一些典型應(yīng)用題，從不同的角度分析數(shù)量關(guān)系，列出形式不同的方程?！?/p>

32、例】買14節(jié)5號電池，付10元，找回3.28元。每節(jié)5號電池的價錢是多少?【解】設(shè)每節(jié)電池價錢x元，由題意可以按不同方式列出方程， ①找回3.28元： 10－14x=3.28； ②原付10元： 14x+3.28=10； ③14節(jié)電池的價錢：14x=10－3.28。,3、概括方法應(yīng)用 (1)從實際生活中引入課題【例】乘法分配律的概括過程。實際問題：“做一張桌子需要10元，一需要5元。計算：做4套這

33、樣的桌椅，一共需要多少元?”。用不同的方法解答。【解法一】先計算一套桌椅價錢，再計算4套桌椅價錢：(10+5)×4=60(元)?！窘夥ǘ肯扔嬎?張桌子價錢，再計算4把椅子價錢，最后求和：lO×4+5×4=60(元),觀察、比較兩種算法，方法不同，結(jié)果相同。 (10+5)×4=10×4+5×4 再比較 12×(9+7)與12×9+12&#

34、215;7 又得到 12×(9+7)=12×9+12×7于是得到 (a+b)×c=a×c+b×c c×(a+b)=c×a+c×b最后概括得乘法分配律：兩數(shù)和乘以第三數(shù)，等于兩數(shù)分別乘以第三數(shù)后的和。,4、培養(yǎng)抽象概括能力 ⑴重視研究數(shù)學(xué)概念的形成過程數(shù)學(xué)概念的形成過程，是從具體到抽象，從感性到理性，從低級

35、到高級，逐步上升發(fā)展的。 ⑵尋找良好的概括素材 要挖掘課本例題和習(xí)題中的思維訓(xùn)練因素，掌握抽象概括的時機和程度，提供良好的概括素材，以下三個方面值得探索：①著眼于揭示知識的本質(zhì)特征 概括是將同類事物的相同屬性歸結(jié)在一起，為了訓(xùn)練這種“異中見同”的能力，組織的教學(xué)材料要具有鮮明的對比性和相對的完整性，以便于揭示知識的本質(zhì)特征。,②注意溝通知識間的聯(lián)系 數(shù)學(xué)新舊知識的關(guān)系有兩種情況： (i)新知識是舊知識

36、的引申、發(fā)展； (ii)新舊知識是在一定條件下的同一、綜合。 學(xué)習(xí)中，一旦溝通了新舊知識的聯(lián)系，就能促成新舊知識的轉(zhuǎn)化。在這個轉(zhuǎn)化過程中，可以培養(yǎng)起從“變中找不變，變中找規(guī)律”的概括能力。,要充分運用練習(xí)，溝通知識間的聯(lián)系，要注意： (i)學(xué)會簡縮數(shù)學(xué)推理過程和相應(yīng)的運算過程，簡縮思維過程也就是概括的結(jié)果； (ii)靈活調(diào)動已經(jīng)學(xué)過的知識，突破已經(jīng)形成的解題模式，通過概括解題規(guī)律，不斷提高解題水平。

37、 數(shù)學(xué)問題的一題多解，反映了運用遷移方法，建立概括手段的能力。,③要有利于形成知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò) 學(xué)完一部分知識后，應(yīng)及時對所學(xué)進(jìn)行整理歸類，使分散的知識系統(tǒng)化，模糊的概念變得清晰并形成邏輯聯(lián)系。 ⑶探索進(jìn)行概括的途徑 概括能力發(fā)展的順序，是從形象概括逐步向抽象概括過渡。一般地，有以下四種方式： ①從不同角度、不同層次、不同范圍進(jìn)行觀察比較，找出它們的相同點和不同點，以找共同點為主，促進(jìn)概括的形成。,②如果新

38、舊知識是屬于同類的，應(yīng)采用遷移方法，選準(zhǔn)新舊知識的結(jié)合，聯(lián)想已學(xué)過的知識與新知識有什么相同或類似的地方，通過分析，概括出新舊知識的共同本質(zhì)。 ③如果新舊知識不屬于同類的，要解決新問題，首先要揭示新舊知識的差異，分析產(chǎn)生差異的原因，再針對原因?qū)ふ抑R間的關(guān)系加以轉(zhuǎn)化。,④在初步形成某一概念或掌握基本解法后，對某些容易疏忽出錯的地方，或相近、相似、相反的概念，可以進(jìn)行一定的判斷練習(xí)，加強理解并掌握概念之間的聯(lián)系與區(qū)別，從中概括出應(yīng)用這