2.4變量替換法

1、2.1 線性方程2.2 變量可分離方程2.3 全微分方程2.4 變量替換法,第二章,2.5 一階隱式方程2.6 近似解法2.7 一階微分方程的應(yīng)用2.8 習(xí)題課,2.4,原方程化為,§2.4 變量替換法,引入,,于是通解為,,通解為,,,故原初始問(wèn)題的解為,解：引入新變量,，初值問(wèn)題化為:,代入初始條件得,解:,令,原方程可化為:,這是一個(gè)變量可分離方程,其通解為:,代入原變量得原方程的通解:,,,引入變量,則,原

2、方程化為,,,,,,,,,代入整理得,積分后得,代入原變量得方程通解為,變量替換法,分離變量得,例3：求微分方程,的通解.,變量分離后得通解:,原方程的解為:,例4：求解微分方程,3.其它變換舉例,解:,此方程改寫為 :,令,,則,代入上式得:,變量分離后得通解:,原方程的解為:,例5：求解微分方程,解:,這是一個(gè)齊次方程,代入上式得:,求解該齊次方程,并代入原變量得通解為:,例6：求解微分方程,解:,令,代入原方程得:,求解該方程,并

3、代入原變量得通解為:,因?yàn)?例7：求解微分方程,解:,令,因?yàn)?方程兩邊同除以,后得:,代入原方程得:,求解該方程,并入原變量得通解為:,例8：求解微分方程,解:,代入上式變形為:,將方程變形為:,因?yàn)?,因?yàn)?令,將方程化為:,求解該方程,并代入原變量得通解為:,,Riccati可求解的一些特殊類型,3.Riccati方程,消去相關(guān)項(xiàng)后，化為Bernoulli方程,查看 Bernoulli 方程,,定理2.3: 設(shè)Ricatti方

4、程為,方程可通過(guò)適當(dāng)變換化為變量可分離方程.,證明:,變?yōu)?,(2.4.1),(2.4.1),(2.4.2),它也是一個(gè)變量可分離方程.,代入方程得:,作變換:,(2.4.3),(2.4.4),其中,方程(2.4.4)與(2.4.2)在形式上一樣,只要將,上述變換的過(guò)程重復(fù)k次,就能把方程(2.4.4)化為,的情形.,方程(2.4.1)就是(2.4.3)的,例9:求解Ricatti方程:,解:,與方程(2.4.1)對(duì)比得:,此Ricat