數(shù)值分析上機(jī)作業(yè)1-1教案

1、1數(shù)值計(jì)算方法上機(jī)題目數(shù)值計(jì)算方法上機(jī)題目11、實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)1.病態(tài)問題病態(tài)問題實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶?shí)驗(yàn)?zāi)康模核惴ㄓ小皟?yōu)”與“劣”之分，問題也有“好”和“壞”之別。所謂壞問題就是問題本身的解對(duì)數(shù)據(jù)變化的比較敏感，反之屬于好問題。希望讀者通過本實(shí)驗(yàn)對(duì)此有一個(gè)初步的體會(huì)。數(shù)值分析的大部分研究課題中，如線性代數(shù)方程組、矩陣特征值問題、非線性方程及方程組等都存在病態(tài)的問題。病態(tài)問題要通過研究和構(gòu)造特殊的算法來解決，當(dāng)然一般要付出一些代價(jià)（如耗用更多的機(jī)器時(shí)間、

2、占用更多的存儲(chǔ)空間等）。問題提出問題提出：考慮一個(gè)高次的代數(shù)多項(xiàng)式（E1????????201)()20)...(2)(1()(kkxxxxxp1）顯然該多項(xiàng)式的全部根為l，2，…，20，共計(jì)20個(gè)，且每個(gè)根都是單重的（也稱為簡單的）?，F(xiàn)考慮該多項(xiàng)式方程的一個(gè)擾動(dòng)(E12)0)(19??xxp?其中是一個(gè)非常小的數(shù)。這相當(dāng)于是對(duì)（E11）中的系數(shù)作一個(gè)小的擾動(dòng)。我們希望?19x比較（E11）和（E12）根的差別，從而分析方程（E11）的

3、解對(duì)擾動(dòng)的敏感性。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：為了實(shí)現(xiàn)方便，我們先介紹兩個(gè)Matlab函數(shù)：“roots”和“poly”，輸入函數(shù)u＝roots（a）其中若變量存儲(chǔ)維的向量，則該函數(shù)的輸出為一個(gè)維的向量。設(shè)a的元素依次a1?nun為，則輸出u的各分量是多項(xiàng)式方程121...?naaa0...1121??????nnnnaxaxaxa的全部根，而函數(shù)b=poly(v)的輸出b是一個(gè)n＋1維變量，它是以n維變量v的各分量為根的多項(xiàng)式的系數(shù)。可見“ro

4、ots”和“Poly”是兩個(gè)互逆的運(yùn)算函數(shù).ve=zeros(121)ve(2)=essroots(poly(1:20))ve)上述簡單的Matlab程序便得到（E12）的全部根，程序中的“ess”即是（E12）中的。?實(shí)驗(yàn)要求實(shí)驗(yàn)要求：（1）選擇充分小的ess，反復(fù)進(jìn)行上述實(shí)驗(yàn)，記錄結(jié)果的變化并分析它們。如果擾動(dòng)項(xiàng)的系數(shù)很小，我們自然感覺（E11）和(E12)的解應(yīng)當(dāng)相差很小。計(jì)算中你有什么出乎?3從實(shí)驗(yàn)的圖形中可以看出，當(dāng)ess充分

5、小時(shí)，方程E.1.1和方程E.1.2的解相差很小，當(dāng)ess逐漸增大時(shí)，方程的解就出現(xiàn)了病態(tài)解，這些解都呈現(xiàn)復(fù)共軛性質(zhì)。（2）將擾動(dòng)項(xiàng)加到x18上后，ess=1e009時(shí)方程的解都比較準(zhǔn)確，沒有出現(xiàn)復(fù)共軛現(xiàn)象。ess=1e008時(shí)誤差與x19(ess=1e009)時(shí)相當(dāng)，即擾動(dòng)加到x18上比加到x19小一個(gè)數(shù)量級(jí)。對(duì)x8的擾動(dòng)ess=1000時(shí)沒有出現(xiàn)復(fù)共軛，誤差很?。粚?duì)x的擾動(dòng)ess=10e10時(shí)沒有出現(xiàn)復(fù)共軛，誤差很小。因此，擾動(dòng)作用

6、到xn上時(shí)，n越小，擾動(dòng)引起的誤差越小。2、實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)2。多項(xiàng)式插值的振蕩現(xiàn)象，即插值的龍格（Runge）現(xiàn)象問題提出問題提出：考慮在一個(gè)固定的區(qū)間上用插值逼近一個(gè)函數(shù)。顯然，拉格朗日插值中使用的節(jié)點(diǎn)越多，插值多項(xiàng)式的次數(shù)就越高、自然關(guān)心插值多項(xiàng)式的次數(shù)增加時(shí)，是否也更加靠)(xLn近被逼近的函數(shù)。龍格給出的一個(gè)例子是極著名并富有啟發(fā)性的。設(shè)區(qū)間上函數(shù)]11[?22511)(xxf??實(shí)驗(yàn)內(nèi)容實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：考慮區(qū)間的一個(gè)等距劃分，分點(diǎn)為]11