二、二階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、二、二階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,4.5 函數(shù)極值的判定[定理4.6] 如果函數(shù)f(x)在x0附近有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)f"(x)，且f'(x0)＝0，f"(x)≠0，那么⑴若f"(x0)＜0，則函數(shù)f(x)在點x0處取得極大值⑵若f"(x0)＞0，則函數(shù)f(x)在點x0處取得極小值,例4.11 求下列函數(shù)的極值⑴ f(x)＝2x3－3x2⑵ f(x)＝sinx＋cosx，x∈[0,2π]

2、解：⑴f'(x)＝6x2－6x，f"(x)＝12x－6令6x2－6x＝0，得駐點為x1＝1，x2＝0∵f"(1)＝6＞0，f"(0)＝－6＜0把x1＝1，x2＝0代入原函數(shù)計算得f(1)＝－1、f(0)＝0∴當x＝1時，y極?。剑?，x＝0時，y極大＝0,例4.11 求下列函數(shù)的極值⑵ f(x)＝sinx＋cosx，x∈[0,2π]解:⑵ f'(x)＝cosx－sinx，令

3、cosx－sinx＝0，得駐點為x1＝ ，x2＝ ，又f"(x)＝－sinx－cosx，把x1＝ ，x2＝ 代入原函數(shù)計算得f( )＝ 、f( )＝－ 。所以當x＝ 時，y極大＝ ，x＝ 時，y極小＝－[注意] 如果f'(x0)＝0，f"(x0)＝0或不存在，本定理無效，則需要考察點x0兩邊f(xié)'(x)的符號來判定是否為函數(shù)的極值點。,4.6 函數(shù)的凹凸

4、性和拐點1. 曲線的凹凸性 設(shè)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，如果對應(yīng)的曲線段位于其每一點的切線的上方，則稱曲線在(a,b)內(nèi)是凹的， 如果對應(yīng)的曲線段位于其每一點的切線的下方，則稱曲線在(a,b)內(nèi)是凸的。 從圖象上來看，曲線段向上彎曲是凹的，曲線段向下彎曲是凸的。[定理4.7]設(shè)函數(shù)y＝f(x)在(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，如果在(a,b)內(nèi)f"(x)＞0，那么對應(yīng)的曲線在(a,b)內(nèi)是凹的

5、，如果在(a,b)內(nèi)f"(x)＜0，那么對應(yīng)的曲線在(a,b)內(nèi)是凸的。,例4.13 判定曲線y＝ 的凹凸性解：∵y＝ ∴f'(x)＝－ ，f"(x)＝ ， 無拐點但有間斷點x＝0 當x＜0時，f”(x)＜0，曲線在(－∞,0)內(nèi)為凸的， 當x＞0時，f"(x)＞0，曲線在(0,＋∞)內(nèi)是凹的。,例4.14 判定曲線y＝cosx在(0,2π)的凹凸性解：

6、∵y'＝－sinx，y"＝－cosx， 令y"＝0，得x1＝ ，x2＝ ∴當x∈(0, )時，f”(x)＜0，曲線在(0, )內(nèi)為凸的， 當x∈( )時，f”(x)＞0，曲線在( )內(nèi)是凹的， 當x∈( ,2π)時，f”(x)＜0，曲線在( ,2π)內(nèi)為凸的。,2. 曲線的拐點 曲線上凸部和凹部的分界點叫做拐點。 因此拐點一定

7、是使f"(x)＝0的點，但是使f"(x)＝0的點不一定都是拐點。[求拐點的一般步驟] ⑴ 求二階導(dǎo)數(shù)f"(x)； ⑵ 求出f"(x)＝0的全部實根； ⑶ 對于每一個實根x0，檢查f”(x)在x0左右兩側(cè)的符號，如果x0兩側(cè)f"(x)的符號不同，則點(x0,f(x0))是曲線的拐點；如果x0兩側(cè)f”(x)的符號相同，則點(x0,f(x0))不是曲線的拐點。,例4

8、.15 求曲線y＝x3－4x＋4的凹凸區(qū)間和拐點解：y'＝x2－4，y"＝2x,令2x＝0，得x＝0 當x＜0時，y”＜0，曲線在(－∞,0)內(nèi)為凸的， 當x＞0時，y"＞0，曲線在(0,＋∞)內(nèi)是凹的。 在x＝0的左右兩側(cè)，y”由正變負，所以(0,4)為曲線上的拐點。例4.16 討論曲線y＝x4－1的凹凸性和拐點解：∵f"(x)＝12x2 ∴當x≠0時，f

9、"(x)＞0，而f"(0)＝0 因此曲線y＝x4－1在(－∞,＋∞)內(nèi)都是凹的， 點(0,－1)不是拐點。,4.7 函數(shù)圖象的描繪 利用函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，我們可以較準確地用描點法描繪函數(shù)的圖象。一般步驟為： ⑴ 確定函數(shù)的定義域、奇偶性、周期性，求出函數(shù)圖象和兩坐標軸的交點； ⑵ 計算f’(x)，令f’(x)＝0求出f(x)的駐點、極值點和增減區(qū)間； ⑶ 計算f“

10、(x)，令f”(x)＝0求出f(x)的拐點和凹凸區(qū)間； ⑷ 計算駐點、拐點處的函數(shù)值； ⑸ 列表，描繪函數(shù)的圖象。,三、高階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,4.8 用多項式近似表達函數(shù)──泰勒公式 如果我們能用一個簡單的函數(shù)來近似地表示一個比較復(fù)雜的函數(shù)，這樣將會帶來很大的方便。 一般地說，多項式函數(shù)是最簡單的函數(shù)。那么我們怎樣把一個函數(shù)近似地化為多項式函數(shù)呢?,[定理4.8] 設(shè)f(x)在x＝0點及其附近有直

11、到n＋1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么 其中Rn(x)＝ (ξ在0與x之間) 上式稱為函數(shù)f(x)在x＝0點附近關(guān)于x的泰勒展開式簡稱泰勒公式。式中的Rn(x)叫做拉格朗日余項。,當x→0時，拉格朗日余項Rn(x)是關(guān)于xn的高階無窮小量，可表示為Rn(x)＝O(xn)。 O(xn)稱為皮亞諾余項。 這樣，函數(shù)f(x)在x＝0點附近的泰勒展開式又表示為： 一般地，函數(shù)f(x)在

12、x＝x0點附近泰勒展開式為：,4.9 幾個初等函數(shù)的泰勒公式例4.19 求函數(shù)f(x)＝ex在x＝0點的泰勒展開式解：∵f'(x)＝f"(x)＝…＝f(n)(x)＝ex ∴f(0)＝f'(0)＝f"(0)＝…＝f(n)(0)＝1 于是，ex在x＝0點的泰勒展開式為： 在上式中，令x＝1，可得求e的近似公式,例4.20 求函數(shù)f(x)＝sinx在x＝0點的泰勒展開式

13、解：∵f'(x)＝cosx，f"(x)＝-sinx，f"'(x)＝-cosx f(4)(x)＝sinx，… ∴f(0)＝0，f'(0)＝1，f"(0)＝0，f"'(x)＝－1 f(4)(0)＝0，… f(2n－1)(0)＝(－1)n－1，f(2n)(0)＝0 于是，sinx在x＝0點的泰勒展開式為：,例4.21

14、 求函數(shù)f(x)＝cosx在x＝0點的泰勒展開式解：∵f'(x)＝-sinx，f"(x)＝-cosx，f"'(x)＝sinx f(4)(x)＝cosx，… ∴f(0)＝1，f'(0)＝0，f"(0)＝－1，f"'(x)＝0 f(4)(0)＝1，… f(2n－1)(0)＝0，f(2n)(0)＝(－1)n于是，cosx在x＝0點的泰

15、勒展開式為：,例4.22求函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)在x＝0點的泰勒展開式解：∵f'(x)＝ ，f"(x)＝- ， f"'(x)＝ ，f(4)(x)＝- ，… ∴f(0)＝0，f'(0)＝1，f"(0)＝-1!，f"'(x)＝2! f(4)(0)＝-3!，…f(n)(0)＝(－1)n－1(n－1

16、)!于是，ln(1＋x)在x＝0點的泰勒展開式為：,4.10 羅必塔法則1. 不定式[定理4.9] 如果當x→a時函數(shù)f(x)、g(x)都趨向于零，在點a的某一鄰域內(nèi)(點a除外)，f’(x)、g’(x)均存在，g’(x)≠0，且 存在(或無窮大)，則,證明：根據(jù)柯西定理有∵ξ在x與a之間，∴當x→a時ξ→a∵ ，∴ 這說明求可導(dǎo)函數(shù)與商的極限時可以轉(zhuǎn)化為求它

17、們導(dǎo)數(shù)的商的極限。 當x→∞時，上述定理也成立。,例4.23 求極限解：當x→0時原式是 型的不定式，用羅必塔法則有例4.24 求極限解：當x→1時原式是 型的不定式，用羅必塔法則有,例4.25 求極限解：當x→∞時原式是 型的不定式，用羅必塔法則有,2. 不定式[定理4.10] 如果當x→a時函數(shù)f(x)、g(x)都趨向于無窮大，在點a的某一鄰域內(nèi)(點a除外)，f'(x)、g&

18、#39;(x)均存在，g'(x)≠0且 存在(或無窮大)，則當x→∞時，上述定理也成立。,例4.26 求解：當x→0+時原式是 型的不定式，用羅必塔法則有例4.27 證明當a＞0時， ＝0證明：根據(jù)羅必塔法則 這表明，無論是α一個多么小的正數(shù)，xα趨于＋∞的速度都比lnx趨于＋∞的速度快。,[作業(yè)] P.198 1 ,2 ⑴⑵⑷,3 ⑴⑵⑶,