§5 二次型及其標準型

1、§5. 二次型及其標準型,在解析幾何中，為了便于研究二次曲線 的幾何性質(zhì)，我們可以選擇適當?shù)淖鴺俗儞Q： 把方程化為標準形,(1)的左邊是一個二次齊次多項式,從代數(shù)學的觀點看，化標準型的過程就是通過變量的線性變換化簡一個二次齊次多項式，使它只有平方項。這樣的問題，在許多理論問題或是實際問題中常會遇到。,現(xiàn)在我們把這類問題一般化，討論n個變量的二次齊次多項式的化簡問題。,一、二次型概念,定義1：含有n個變量x1

2、 , x2 ,…xn的二次齊次函數(shù),其中,二次型的矩陣形式,其中,1）稱A為二次型 f 的矩陣，顯然 A=AT;2）A=(aij), 若 aij 為復數(shù)，稱 f 為復二次型；3) A=(aij), 若 aij 為實數(shù)，稱 f 為實二次型；4）稱為R(A)為二次型 f 的秩。,例 1. 把下面的二次型寫成矩陣形式；,二、二次型的標準形,定義9. 稱只含有平方項的二次型,為二次型的標準型（或法式）。,所謂一般二次

3、型的化簡問題，就是尋找一個可逆的線性變換：,定理9 任給可逆矩陣 C ，令 B=C TAC，若 A 為對稱矩陣，則 B 亦為對稱矩陣，且 R(B)=R(A)。,證： A為對稱矩陣，即有 A T=A，于是， B T =(C TAC) T=C TAT(C T) T=C TAC=B .故 B 為對稱矩陣. 再證 R(B)=R(A).因 B=C TAC, 故 R(B)

4、 ≤R(AC) ≤R(A).又因 A=(C T) -1BC -1,故 R(A) ≤R(BC -1) ≤R(B)于是 R(B)=R(A).,這定理說明：經(jīng)可逆變換 x=C y ,把 f 化成 yTC TACy ，C TAC 仍為對稱矩陣，且二次型的秩不變。要使二次型 f 經(jīng)過可逆變換 x=C y化成標準形，即使 f = x TAx,也就是要使 C TAC 成為對角陣，即， C TAC=∧，