第二章數(shù)學模型與定解問題

1、第二章數(shù)學模型與定解問題2.1典型方程三類基本的二階偏微分方程是:(1)波動方程0)(2????zzyyxxttuuuau(2)熱傳導方程0)(????zzyyxxtuuuku(3)拉普拉斯方程0???zzyyxxuuu許多數(shù)學物理問題都可歸結為解偏微分方程的問題特別是可歸結為解上面所列舉的三個偏微分方程的問題.我們將開始研究這些方程首先仔細考察表示這些物理問題的數(shù)學模型.2.2弦的振動在數(shù)學物理中最重要的問題之一是拉緊的弦的振動問題.

2、由于它較簡單且經(jīng)常出現(xiàn)在許多數(shù)學物理的分支中所以在偏微分方程理論中把它作為一個典型的例子.讓我們考察一長為的兩端固定的拉緊的弦.我們的問題是要確定弦的運動方程用它來描l述在給定初始擾動后任一時刻t的弦的位移u(xt).為了能.得出一個較簡單的方程我們作下面的一些假設:(1)弦是柔軟與有彈性的即它不能抵抗彎矩因此在任何時刻弦的張力總是沿著弦的切線方向(2)弦的每一段都不伸長因此根據(jù)胡克(Hooke)定律張力是常數(shù)(3)弦的重量與其張力相比

3、很小(4)弦的偏移與其長度相比很小(5)位移后的弦在任一點上的斜率與1相比很小(6)弦只有橫振動.我們考察弦上一微小元素.設T是如圖2.1所示的兩端點上的張力.作用在弦的這一微小元素上的垂直方向的力是:??sinsinTT?圖（Figure）2.1(4)膜的偏移與膜的最小直徑相比很小(5)位移后的膜在任一點上的斜率與1相比很小(6)膜只有橫振動.我們考察膜的一塊微小元素.因為偏移和斜率都很小這塊元素的面積近似地等于.如果yx??T是每單

4、位長度上的張力則作用在這塊元素各邊上的力是和(見圖2.2).xT?yT?圖（Figure）2.2作用在膜的這塊元素上的垂直方向的力是????sinsinsinsinyTyTxTxT???????因為斜率很小所以上述這些角的正弦都分別近似地等于它們的正切.于是合力變?yōu)?sin(sin)sin(sin?????????yTxT根據(jù)牛頓第二運動定律合力等于質量乘以加速度.因此(2:3.1)ttAuyTxT????????????)sin(si