補(bǔ)充方法

1、五法求二面角五法求二面角一、三垂線法一、三垂線法三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直通常當(dāng)點(diǎn)P在一個(gè)半平面上則通常用三垂線定理法求二面角的大小。本定理亦提供了另一種添輔助線的一般規(guī)律。如（例2）過二面角BFC1C中半平面BFC上的一已知點(diǎn)B作另一半平面FC1C的垂線，得垂足O；再過該垂足O作棱FC1的垂線，得垂足P，連結(jié)起點(diǎn)與終點(diǎn)得斜線段PB，便形成了三垂線定理的基本構(gòu)圖（斜線PB、

2、垂線BO、射影OP）。再解直角三角形求二面角的度數(shù)。例2如圖，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，ABCD，AB=4BC=CD=2AA1=2E、E1、F分別是棱AD、AA1、AB的中點(diǎn)。（1）證明：直線EE1平面FCC1；（2）求二面角BFC1C的余弦值。證（1）略解（2）因?yàn)锳B=4BC=CD=2、F是棱AB的中點(diǎn)所以BF=BC=CF△BCF為正三角形取CF的中點(diǎn)O則OB⊥CF又因?yàn)橹彼睦庵鵄BCDA1B1C

3、1D1中CC1⊥平面ABCD所以CC1⊥BO所以O(shè)B⊥平面CC1F過O在平面CC1F內(nèi)作OP⊥C1F垂足為P連接BP則∠OPB為二面角BFC1C的一個(gè)平面角在△BCF為正三角形中3OB?在Rt△CC1F中△OPF∽△CC1F∵11OPOFCCCF?∴22122222OP????在Rt△OPF中22114322BPOPOB?????272cos7142OPOPBBP????所以二面角BFC1C的余弦值為77.練習(xí)2如圖，在四棱錐中，底面是

4、矩形ABCDP?ABCDEABCFE1A1B1C1D1DF1OPEABCFE1A1B1C1D1D所以，在Rt△AHG中，25105sin.52AHAGHAG????故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是10arcsin.5練習(xí)3已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的棱長都是a，側(cè)棱與底面成600的角，側(cè)面BCC1B1⊥底面ABC。（1）求證：AC1⊥BC；（2）求平面AB1C1與平面ABC所成的二面角（銳角）的大小。提示：本題需

5、要補(bǔ)棱，可過A點(diǎn)作CB的平行線L（答案：所成的二面角為45O）三、三、射影面積法（）cossSq=射射凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個(gè)半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（cos）求出二面角的大小。斜射SS??例4（2008北京理）如圖，在三棱錐中，PABC?2ACBC??，，90ACB???，APBPAB??PCAC?（Ⅰ）求證：；PCAB?（Ⅱ）求二面角的大小；BAPC??分析：本題要求二面角B—AP—C的

6、大小，如果利用射影面積法解題，不難想到在平面ABP與平面ACP中建立一對原圖形與射影圖形并分別求出S原與S射于是得到下面解法。解：（Ⅰ）證略（Ⅱ），，ACBC??APBP?APCBPC?△≌△又，PCAC?PCBC??又，即，且，90ACB???ACBC?ACPCC??平面BC??PAC取中點(diǎn)連結(jié)APEBECE，，ABBP??BEAP??是在平面內(nèi)的射影，EC?BEPACCEAP??∴△ACE是△ABE在平面ACP內(nèi)的射影，于是可求得：