函數(shù)的級數(shù)展開

1、2函數(shù)的冪級數(shù)展開函數(shù)的冪級數(shù)展開(一)教學(xué)目的：掌握泰勒級數(shù)和麥克勞林級數(shù)展開，初等函數(shù)的冪級數(shù)展開熟記一些初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式.(二)教學(xué)內(nèi)容：泰勒級數(shù)和麥克勞林級數(shù)展開式的定義；五種基本初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式基本要求：(1)掌握泰勒級數(shù)和麥克勞林展開式，五種基本初等函數(shù)的冪級數(shù)展開(2)學(xué)會用逐項求積和逐項求導(dǎo)的方法展開初等函數(shù)，并利用它們作間接展開(三)教學(xué)建議：(1)要求學(xué)生必須掌握泰勒級數(shù)和麥克勞林展開式，并利用五種基本初

2、等函數(shù)的冪級數(shù)展開某些初等函數(shù)或作間接展開(2)對較好學(xué)生可布置利用逐項求導(dǎo)和逐項求積的方法展開初等函數(shù)的習(xí)題TaylTayl級數(shù)級數(shù)設(shè)函數(shù)在點有任意階導(dǎo)數(shù).)(xf0xTaylTayl公式：??????nknkkxRxxkxfxf000)()()(!)()(.nnxxnxfxxxfxxxfxf)(!)()(!2)())(()(00)(200000?????????????)(xRn余項的形式:)(xRnPeano型余項:)(xRn??

3、nxxo)(0??（只要求在點的某鄰域內(nèi)有階導(dǎo)數(shù)，存在）0x1?n)(0)(xfnLagrange型余項:在與之間.)(xRn??)()!1()(10)1(?????nnxxnfx0x或.)(xRn??0)()!1()(1000)1(???????nnxxnxxxf?1???積分型余項:當(dāng)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)時有)(xf0x1?n.)(xRn????xxnndttxtfn0))((!1)1(另一方面由（和函數(shù)的性質(zhì)）知：在點的

4、某鄰域內(nèi)倘有0x)(xf?????00)(nnnxxa則在點無限次可導(dǎo)且級數(shù)必為函數(shù)在點的TaylTayl級數(shù).)(xf0x????00)(nnnxxa)(xf0x綜上我們有如下結(jié)論:(1)對于在點無限次可導(dǎo)的函數(shù)其TaylTayl級數(shù)可能除點外均發(fā)散0x)(xf?x0x參閱復(fù)旦大學(xué)編《數(shù)學(xué)分析》下冊P90第9題)即便在點的某鄰域內(nèi)其TaylTayl級0x數(shù)收斂和函數(shù)也未必就是.由此可見不同的函數(shù)可能會有完全相同的TaylTayl級)(

5、xf數(shù).(2)若冪級數(shù)在點的某鄰域內(nèi)收斂于函數(shù)則該冪級數(shù)就是????00)(nnnxxa0x)(xf函數(shù)在點的TaylTayl級數(shù).)(xf0x于是為把函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)表示為關(guān)于的冪級數(shù)，我們只能考)(xf0x)(0xx?慮其TaylTayl級數(shù).4.可展條件:定理1(必要條件)函數(shù)在點可展在點有任意階導(dǎo)數(shù).)(xf0x?)(xf0x定理2(充要條件)設(shè)函數(shù)在點有任意階導(dǎo)數(shù).則在區(qū)間)(xf0x)(xf內(nèi)等于其Tayl級數(shù)(即可展)的

6、充要條件是:對)0()(00???rrxrx有.其中是Tayl公式中的余項.)(0rxx???0)(lim???xRnn)(xRn證把函數(shù)展開為階Tayl公式有)(xfn.|)(||)()(|xRxSxfnn???)(xf)(lim????xSnn0)(lim???xRnn定理3(充分條件)設(shè)函數(shù)在點有任意階導(dǎo)數(shù)且導(dǎo)函數(shù)所成函數(shù)列)(xf0x一致有界則函數(shù)可展.)()(xfn)(xf證利用Lagrange型余項設(shè)則有Mxfn?|)(|)