圓面覆蓋

1、一道中考模擬題的教學設(shè)計一道中考模擬題的教學設(shè)計——鄧達原題目如下：某課題學習小組在探討一團周長為（為大于0的常數(shù)）的線圈時，發(fā)現(xiàn)了如下兩4aa個問題：命題1：如圖1，當線圈做成正三角形ABC時，能被半徑為的圓形紙片完全蓋住。a命題2：如圖2，當線圈做成正方形ABCD時，能被半徑為的圓形紙片完全蓋住。a請你繼續(xù)探究下列幾個問題：（1）如圖3，當線圈做成正五邊形ABCDE時，請說明能被半徑為的圓形紙片完全蓋a住；（2）如圖4，當線圈做成平

2、行四邊形ABCD時，能否被半徑為的圓形紙片完全蓋住？a請說明理由；（3）如圖5，當線圈做成任意形狀的圖形時，是否還能被半徑為的圓形紙片完全蓋??？a若能蓋住，請通過計算說明；若不能蓋住，請你說明理由。這道中考模擬題，把定長為的細繩，圍成各種封閉的幾何圖形，并均滿足結(jié)論：被4a半徑為的圓所覆蓋。題目直接給出了兩個真命題，即當圍成正三角形和正方形時，被半a徑為的圓所覆蓋的結(jié)論是成立的。然后直接到圍成正五邊形，這樣的起點太高，證明的a難度較大，

3、且無跡可尋，再過渡到任意的平行四邊形，進而到任意形狀的封閉圖形。這就會造成學生對題目理解上的難度，得分情況就很不理想了。為了突破本題的難點，我嘗試了以下的教學構(gòu)思。題目：已知一條長為已知一條長為的細繩，把它圍成一個正三角形。問：它能否被半徑為的細繩，把它圍成一個正三角形。問：它能否被半徑為的圓的圓4aa所覆蓋？所覆蓋？（學生給出解答）如圖6，過外接圓的圓心，作，連接。ABC?OODBC?OB由題意可知：，，，43aBC?23aBD?60

4、BOD???ABC圖1ABDC圖2CBAED圖3CDBA圖4圖5DCBOA圖6長的細繩圍成一個圓。這樣可得：。結(jié)論成立。4a422aara?????有也同學用上面的方法得到表達式。如圖10，點為正N邊形外接圓的圓心，過O作，由題意得：O45OPAA?，，，454AAan?42APan?4180AOPn???可得，。42180sinanOAn??（至此，學生也就進行不下去了。）事實上，。422180sinsinaannOAnn??????

5、而，這樣也得得到，。結(jié)論也成立。lim1sinnnn??????42aOAa???（這一問為后面更一般的情形做準備，當把條件再弱化時，學生能從心里接受，也能猜測結(jié)論可能還會成立，進而想辦法來加以證明。）如果把如果把長的細繩圍成任意平行四邊形，還能被半徑為長的細繩圍成任意平行四邊形，還能被半徑為的圓所覆蓋么？的圓所覆蓋么？4aa如圖11，把平行四邊形對角線的交ABCD點作為覆蓋圓的圓心，只需說明線段，OOAa?則結(jié)論就可得證。，而，2AB

6、ADa???2ABADACOC????。則結(jié)論成立。OCa??（此時可給出下面的引導，為更一般的情形做準備。如圖12，在平行四邊形中，ABCD對角線或把平行四邊形的周長分成相等的兩部分，而為或的中ACBDABCDOACBD點。如果在平行四邊形的邊上任意取一點，作EEF平分平行四邊形的周長，并以的中ABCDEF點為覆蓋圓的圓心，只需說明平行四邊形上任意O一點到點的距離都小于。而圖中到點最遠OaO的點為點或點。說明即可。ACCOa?，而，2

7、ECCDDFaCECF??????2CECFOC??。則結(jié)論成立。有了這兩個鋪墊，此時可把結(jié)論推廣至任意四邊形。）OCa??如果把如果把長的細繩圍成任意四邊形，還能被半徑為長的細繩圍成任意四邊形，還能被半徑為的圓所覆蓋么？的圓所覆蓋么？4aa如圖13，過四邊形上任意一點，不ABCD妨取點，作平分四邊形的周長，取AAEABCD的中點為覆蓋圓的圓心，并說明圖上任意一點AE到點的距離均小于。此圖就選點。OaB，22ABBEaOB????PA3