03-工程力學-3匯交

1、第三章,匯交力系,Chapter Three,Concurrent Force System,3.1 力系的分類,3.3 匯交力系的平衡條件,綜合練習,本章內容小結,本章基本要求,3.2 匯交力系的合成,,,,,,掌握匯交力系的幾何合成法與解析合成法。,熟練地計算力在坐標軸上的投影。,能熟練地應用匯交力系平衡的幾何條件和解析條件求解匯交力系的平衡問題。,本 章 基 本 要 求,平面力系,空間力系,匯交力系,平行

2、力系,任意力系,3.1 力系的分類,,,平面力系,空間力系,空間力系,空間力系,,,匯交力系,平面,空間匯交力系,,平行力系,平面任意力系,,力偶系,,1. 幾何法,三角形法則,3.2 匯交力系的合成,,,e,c,b,a,d,e,c,b,a,d,一個 合力，其作用線通過匯交點 ，合力的力矢由力多邊形的封閉邊表示。,多邊形法則,簡化結果,= i · F,=F cosα,= k · F,= j · F,=F

3、 cosβ,=F cosγ,,,,a. 力在直角坐標軸上的投影,2. 解析法,力的投影與力的分量的區(qū)別？,注意： 力在軸上的投影是代數量，而力沿軸的分量為矢量。,分析和討論,,直接投影法,,二次投影法,,,,b.力的解析表示式,c.匯交力系合成的解析法,,合力投影定理,合力在任一軸上的投影，等于各分力在同一軸上投影的代數和。,,,合力投影定理,用解析法求匯交力系的合力時，若選用不同的直角坐標軸，所得的合力是否相同？,分析和討論,平

4、面匯交力系的合成,一個 合力，其作用線通過匯交點 ，合力的力矢由力多邊形的封閉邊表示。,簡化結果,求如圖所示平面共點力系的合力。其中：F1 = 200 N，F2 = 300 N，F3 = 100 N，F4 = 250 N。,求如圖所示平面共點力系的合力。其中：F1 = 200 N，F2 = 300 N，F3 = 100 N，F4 = 250 N。,解：,根據合力投影定理，得合力在軸 x，y上的投影分別為：,合力的大?。?合力與軸 x，y

5、 夾角的方向余弦為：,所以，合力與軸 x，y 的夾角分別為：,已知力沿直角坐標軸的解析式為,試求這個力的大小和方向，并作圖表示。,力 F 的方向余弦及與坐標軸的夾角為,已知力沿直角坐標軸的解析式為,試求這個力的大小和方向，并作圖表示。,解：,由已知條件得,所以力 F 的大小為,動腦又動筆,車床車削一圓棒,已知車床在車削一圓棒時，由測力計測得刀具承受的力F 的三個正交分量 Fx ，Fy，Fz 的大小各為 4.5 kN ，6.3 kN ，

6、18 kN ，試求力F 的大小和方向。,動腦又動筆,解：,力F 的方向余弦及與坐標軸的夾角為,力F 的大小,動腦又動筆,在剛體上作用著四個匯交力，它們在坐標軸上的投影如下表所示，試求這四個力的合力的大小和方向。,,,動腦又動筆,在剛體上作用著四個匯交力，它們在坐標軸上的投影如下表所示，試求這四個力的合力的大小和方向。,由上表得,解：,,,動腦又動筆,所以合力的大小為,合力的方向余弦為,,合力FR 與 x，y，z 軸間夾角,動腦又動筆,

7、,3.3 匯交力系的平衡條件,1. 平衡與平衡條件,物體靜止或作勻速直線平動，這種狀態(tài)稱為平衡。,匯交力系平衡的充分必要條件是力系的合力等于零。,2. 匯交力系平衡的幾何條件,匯交力系平衡的幾何條件,力多邊形自行封閉,,3. 匯交力系平衡的解析條件,= 0,,空間匯交力系,平衡方程,平面匯交力系,4. 匯交力系平衡方程的應用,? 例題1,圖a所示是汽車制動機構的一部分。司機踩到制動蹬上的力F=212 N，方向與水平面

8、成a = 45?角。當平衡時，DA鉛直，BC水平，試求拉桿BC所受的力。已知EA=24 cm， DE=6 cm?點E在鉛直線DA上? ，又B ，C ，D都是光滑鉸鏈，機構的自重不計。,1.取制動蹬 ABD 作為研究對象，并畫出受力圖。,2.作出相應的力多邊形。,幾何法,解：,3. 由圖 b幾何關系得：,4 .由力三角形圖 c 可得：,OE = EA = 24 cm,? 例題1,1. 取制動蹬 ABD 作為研究對象。,2.畫出受力圖 ，,

9、解析法,3. 列出平衡方程：,聯立求解得,已知：,并由力的可傳性化為共點力系。,φ = 14.01 o , sinφ = 0.243 , cosφ = 0.969,－ F cos45o,FB,－FD cosφ,= 0,FD sinφ,－ F sin45o,= 0,? 例題1,水平梁AB中點C 作用著力 F，其大小等于2 kN，方向與梁的軸線成 60º 角，支承情況如圖a 所示，試求固定鉸鏈支座 A 和活動鉸鏈支座 B 的

10、約束力。梁的自重不計。,(a),? 例題2,1.取梁 AB 作為研究對象。,4.由力多邊形解出： FA = F cos30?= 17.3 kN FB = F sin30? = 10 kN,2.畫出受力圖。,3.作出相應的力多邊形。,解：,? 例題2,支架的橫梁 AB 與斜桿 DC 彼此以鉸鏈 C 連接，并各以鉸鏈 A ，D 連接于鉛直墻上，如圖所示。已知桿AC = CB ；桿DC與水平線成 45o 角

11、；載荷F=10 kN，作用于 B 處。設梁和桿的重量忽略不計，求鉸鏈 A 的約束力和桿 DC 所受的力。,動腦又動筆,取 AB 為研究對象，其受力圖為：,解：,,動腦又動筆,按比例畫力F ，作出封閉力三角形。,量取FA , FC 得,圖解法,,A,B,C,,,,E,,FA,,,利用鉸車繞過定滑輪B的繩子吊起一貨物重G = 20 kN，滑輪由兩端鉸接的水平剛桿AB和斜剛桿BC支持于點B 。不計鉸車的自重，試求桿AB和BC所受的力。,?

12、例題3,1.取滑輪 B 軸銷作為研究對象。,2.畫出受力圖。,3.列出平衡方程：,聯立求解得,解：,+ FAB,= 0,－ F sin30o,= 0,FBC cos30 o,FBC cos60 o,－G,－ F cos30o,FAB = －54.5 kN,FBC = 74.5 kN,? 例題3,約束力 FAB 為負值，說明該力實際指向與圖上假定指向相反。即桿 AB 實際上受拉力。,解析法符號法則：當由平衡方程求得某一未知力的值為負時，表

13、示原先假定的該力指向和實際指向相反。,如圖所示，重物G =20 kN，用鋼絲繩掛在支架的滑輪B上，鋼絲繩的另一端繞在鉸車D上。桿AB與BC鉸接，并以鉸鏈A，C與墻連接。如兩桿與滑輪的自重不計并忽略摩擦和滑輪的大小，試求平衡時桿AB和BC所受的力。,動腦又動筆,列平衡方程,解方程得:,解：,取滑輪 B 為研究對象，忽略滑輪的大小，畫受力圖。,FT = G,梯長 AB = l ，重 G =100 N，重心假設在中點 C ，梯子的上端 A

14、靠在光滑的端上，下端 B 放置在與水平面成 40°角的光滑斜坡上，求梯子在自身重力作用下平衡時，兩端的約束力以及梯子和水平面的夾角θ。,? 例題4,梯子受三力平衡，由三力匯交定理可知,它們交于D點。,1.求約束力。,解：,列平衡方程：,考慮到 ? ?? ? ???? ??? = 5?? ，,聯立求解 ，,50°,? 例題4,角θ可由三力匯交的幾何關系求出。,2.求角θ。,由直角三角形 BEC 和 BED ，有,EC

15、 = EB tanθ,ED = EB tan (φ +θ),= 0.596,θ = 30.8 o,,? 例題4,車間用的懸臂式簡易起重機可簡化為如圖所示的結構。AB是吊車梁，BC是鋼索，A端支承可簡化為鉸鏈支座。設已知電葫蘆和提升重物 G = 5 kN,θ = 25 o，AD = a = 2m , AB = l =2.5 m。如吊車梁的自重可略去不計，求鋼索 BC 和鉸 A 的約束力。,解：,動腦又動筆,列平衡方程：,FA = 8.

16、63 kN FB = 9.46 kN,,把三個力移到點O，作直角坐標系，如圖 b 所示。,tan φ = 0.117,式中角φ可由圖 b 中的幾何關系求得,動腦又動筆,如圖所示，用起重機吊起重物。起重桿的 A 端用球鉸鏈固定在地面上，而 B 端則用繩 CB 和 DB 拉住，兩繩分別系在墻上的 C 點和D點，連線 CD 平行于 x 軸。已知 CE=EB=DE ,角α=30 o ，CDB 平面與水平面間的夾角∠EBF = 3

17、0 o ,重物 G =10 kN。如不計起重桿的重量,試求起重桿所受的力和繩子的拉力。,? 例題5,1. 取桿 AB 與重物為研究對象 ，受力分析如圖。,解：,其側視圖為,? 例題5,3.聯立求解。,2. 列平衡方程。,? 例題5,求∶各桿受力。,已知∶,解∶,各桿均長 2.5 m ,,W= 20KN,AO = BO= CO = 1.5 m,取 D 鉸為對象,F = W,cosφ = 3/5,sinφ = 4/5,? 例題6,F,0,0

18、,－W,0,0,? 例題6,故三角架各桿受壓。,? 例題6,匯 交 力 系,本章內容小結,匯交力系合成的幾何法與解析法。,計算力在坐標軸上的投影。,求解匯交力系的平衡問題。,基本方法,匯交力系平衡條件,平衡方程,基本公式,,綜合練習,一、是非題,1. 平面匯交力系的平衡方程有無窮多個。,2. 一匯交力系，若非平衡力系，一定有合力。,3. 力沿坐標軸分解就是力向坐標軸投影。,4. 空間匯交力系只有三個獨立的平衡方程。,5. 用解析法

19、求解匯交力系平衡問題時，投影軸一定要相互垂直。,,,,,,6. 若平面匯交力系的各力在任意兩個互不平行的軸上投影的代數和均為零，則該力系一定平衡。,,如圖軋路碾子自重 G = 20 kN，半徑 R = 0.6 m，障礙物高 h = 0.08 m 碾子中心 O 處作用一水平拉力 F，,二、 計算題,試求: (1)當水平拉力 F = 5 kN時 ，碾子對地面和障礙物的壓力 ；,(2)欲將碾子拉過障礙物，水平拉力至少應為多大；,(3)力 F