《電磁學(xué)》第1章-第1.3節(jié)-高斯定理2學(xué)時(shí)

1、華僑大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院電子科學(xué)與技術(shù)系Email：zllin@hqu.edu.cn,林志立,《電磁學(xué)》第一章 靜電場(chǎng)（8學(xué)時(shí)）,QQ群：200310752,第一章 教學(xué)內(nèi)容,§1.1 靜電的基本現(xiàn)象和基本規(guī)律（1學(xué)時(shí)）§1.2 電場(chǎng) 電場(chǎng)強(qiáng)度（1學(xué)時(shí)）§1.3 高斯定理（2學(xué)時(shí)）§1.4 電勢(shì)及其梯度（2學(xué)時(shí)）§1.5 帶電體系的靜電能（2學(xué)時(shí)）,§1.3 高

2、斯定理,1.3.1 電場(chǎng)線及其數(shù)密度,用一族空間曲線形象地描述電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)分布，通常把這些帶有方向的曲線稱為電場(chǎng)線。,特點(diǎn)：電場(chǎng)線上每一點(diǎn)的切線方向與該點(diǎn)的電場(chǎng)方向相同。,,§1.3 高斯定理,1.3.1 電場(chǎng)線及其數(shù)密度,電場(chǎng)大小正比于數(shù)密度：,在電場(chǎng)中任一點(diǎn)，取一垂直于該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)方向的面積元，通過單位面積的電場(chǎng)線數(shù)目，就是電場(chǎng)線數(shù)密度。它代表了等于該處電場(chǎng)線的疏密程度，也正比于該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的大小。,,電場(chǎng)線方程：,方向相同,垂直穿過

3、面積元ΔS的電場(chǎng)線有ΔN根,§1.3 高斯定理,1.3.1 電場(chǎng)線及其數(shù)密度,(1) 電場(chǎng)線起始于正電荷(或無窮遠(yuǎn)處)，終止于負(fù)電荷（或無窮遠(yuǎn)處），不會(huì)在沒有電荷處中斷；(2) 帶電體系中正負(fù)電荷相等時(shí)，正電荷發(fā)出的電場(chǎng)線全部集中到負(fù)電荷上去；(3) 兩條電場(chǎng)線不會(huì)相交；(4）靜電場(chǎng)的電場(chǎng)線不會(huì)形成閉合曲線。,電場(chǎng)線的性質(zhì)：,,,,平行板電容器內(nèi)部和附近的電場(chǎng)線分布情況,§1.3 高斯定理,1.3.2 電場(chǎng)強(qiáng)度

4、通量,,規(guī)定,,不垂直時(shí),如何計(jì)算通過任意曲面的電(場(chǎng)強(qiáng)度)通量？,方法: (1)把曲面進(jìn)行面元分割； (2) 視每一面元上的局部電場(chǎng)均勻； (3) 積分累加。,E和ΔS垂直時(shí),§1.3 高斯定理,1.3.2 電場(chǎng)強(qiáng)度通量,?閉合曲面的面元法線方向：沿閉合面法線方向由內(nèi)指向外。 對(duì)于非閉合曲面，根據(jù)預(yù)先規(guī)定的邊界線繞向，再根據(jù)右手螺旋法則確定其面元法向方向 ）,夾角θ

5、為鈍角,夾角θ為鈍角,,穿越閉合曲面的總電通量：,§1.3 高斯定理,1.3.3 高斯定理的表述和證明,通過一個(gè)任意閉合曲面S的電場(chǎng)強(qiáng)度通量 等于該面所包圍的所有電荷電量的代數(shù)和∑q除以 ，與閉合面外的電荷無關(guān)。,高斯定理的表述：,高斯定理的證明：,(1) 利用庫(kù)侖定律+電場(chǎng)強(qiáng)度公式+電場(chǎng)線+ 疊加原理；(2) 先證明點(diǎn)電荷的電場(chǎng)遵守高斯定理，然后推廣至一般電荷的情況。,§1.3 高斯定理,1

6、.3.3 高斯定理的表述和證明,高斯定理的證明：,1） 當(dāng)源電荷為點(diǎn)電荷q，閉合曲面S為球面時(shí),通過球面的電通量，即穿過球面電場(chǎng)線的根數(shù)為,+,在該條件下，在電場(chǎng)中取一包圍點(diǎn)電荷、以點(diǎn)電荷為球心、半徑為r的球面S。,§1.3 高斯定理,1.3.3 高斯定理的表述和證明,高斯定理的證明：,?2）當(dāng)源電荷為點(diǎn)電荷q，閉合曲面S為任意形狀時(shí),+,點(diǎn)電荷q發(fā)出（或接收）的電場(chǎng)線不中斷;穿越球面和任意曲面的電場(chǎng)線條數(shù)相等。因此，在球

7、面和任意閉合曲面上電通量相等，且等于q/ε0 .,推理：,§1.3 高斯定理,1.3.3 高斯定理的表述和證明,高斯定理的證明：,?3）閉合曲面S為任意形狀,曲面不包圍點(diǎn)電荷q時(shí),點(diǎn)電荷q發(fā)出（或接收）的電場(chǎng)線不中斷。,推理：,+,E線穿出閉合曲面,E線穿入閉合曲面,,條數(shù)相等,電通量為負(fù)(q>0時(shí)),電通量為正（q>0時(shí)),,,,,絕對(duì)值相等，符號(hào)相反,（電荷在曲面外）,§1.3 高斯定理,1.

8、3.3 高斯定理的表述和證明,高斯定理的證明：,?4）當(dāng)存在多個(gè)點(diǎn)電荷時(shí)，電場(chǎng)強(qiáng)度通量等于它們單獨(dú)存在時(shí)的電場(chǎng)強(qiáng)度通量的代數(shù)和．,閉合曲面所包圍的k個(gè)點(diǎn)電荷量之和，不包含曲面外的(i-k)個(gè)點(diǎn)電荷量。,,總共有i個(gè)點(diǎn)電荷，位于曲面內(nèi)的有k個(gè)。,,,,,,,§1.3 高斯定理,1.3.4 從高斯定理看電場(chǎng)線的性質(zhì),1.電場(chǎng)線的起點(diǎn)、終點(diǎn),（a)起點(diǎn),夾角為銳角,電通量,由高斯定理：,所以：電場(chǎng)線起點(diǎn)處一定存在正電荷,（b)終點(diǎn),

9、夾角為鈍角,電通量,由高斯定理：,所以：電場(chǎng)線終點(diǎn)處一定存在負(fù)電荷,推論：電場(chǎng)線不會(huì)在沒有電荷的地方中斷。,§1.3 高斯定理,1.3.4 從高斯定理看電場(chǎng)線的性質(zhì),1.電場(chǎng)線的起點(diǎn)、終點(diǎn),a) 單一點(diǎn)電荷情形: 正電荷： 正電荷發(fā)出 根電場(chǎng)線。 負(fù)電荷：來自無窮遠(yuǎn)的 根電場(chǎng)線終止于負(fù)電荷,由正電荷發(fā)出的電場(chǎng)線全部終止于負(fù)電荷由正電荷發(fā)出的電場(chǎng)線部分終止于負(fù)電荷，其余的電場(chǎng)線終止

10、于無窮遠(yuǎn)終止負(fù)電荷的部分電場(chǎng)線來自于無窮遠(yuǎn),b) 正負(fù)電合同時(shí)存在時(shí),§1.3 高斯定理,1.3.4 從高斯定理看電場(chǎng)線的性質(zhì),2.電場(chǎng)線的疏密與場(chǎng)強(qiáng)的大小,電場(chǎng)線管：由一束電場(chǎng)線圍成的管狀區(qū)域。,電場(chǎng)線管性質(zhì)：在側(cè)面上沒有電場(chǎng)線穿過。,電場(chǎng)線管的高斯面及通量 ：,高斯面： 側(cè)面+兩個(gè)截面。,假設(shè)不包圍電荷，則：,表明：電場(chǎng)線稀疏處，電場(chǎng)弱；電場(chǎng)線密集處，電場(chǎng)強(qiáng)。,§1.3 高斯定理,1.3.5 高斯定理應(yīng)用舉例

11、,在電荷分布具有某種對(duì)稱性，或特殊性的情況下，高斯定理等式右側(cè)中的E在對(duì)稱面上相等，E或平行或垂直于高斯面，由此利用高斯定理可以求出E，并且數(shù)學(xué)上比電場(chǎng)疊加（積分）方法簡(jiǎn)潔。,常見的具有對(duì)稱性分布的電荷載體,§1.3 高斯定理,1.3.5 高斯定理應(yīng)用舉例,例1. 均勻帶電球殼，總電量為q，半徑為R，求：內(nèi)外電場(chǎng)分布。,,,,,,R,,o,,【 解】：分析電荷分布的對(duì)稱性，選取合適的高斯面(閉合面),先從高斯定理等式的左方入手

12、，即：先計(jì)算通過高斯面的電通量。,? 取過場(chǎng)點(diǎn)P、以O(shè)為球心的球面作為高斯面,§1.3 高斯定理,1.3.5 高斯定理應(yīng)用舉例,,,,,,R,,o,,由高斯定理：,球殼內(nèi)部空間的場(chǎng)強(qiáng)處處為0。,帶電球殼在外部空間產(chǎn)生的電場(chǎng)，與其上電荷全部集中在球心時(shí)產(chǎn)生的電場(chǎng)一樣。,§1.3 高斯定理,1.3.5 高斯定理應(yīng)用舉例,,,,,如何理解球面內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)為0 ?,過P點(diǎn)作小圓錐在球面上截出兩個(gè)電荷元,在P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng),在P點(diǎn)

13、的場(chǎng)強(qiáng),方向向右,方向向左,,§1.3 高斯定理,1.3.5 高斯定理應(yīng)用舉例,例2.均勻帶電球體，總電量為q，半徑為R，求：內(nèi)外電場(chǎng)分布。,【 解】：與均勻帶電球面相同，根據(jù)電荷分布的對(duì)稱性，選取合適的高斯面(閉合面),先從高斯定理等式的左方入手，即：先計(jì)算高斯面的電通量。,?取過場(chǎng)點(diǎn)P為球面，以O(shè)為球心的球面作為高斯面,§1.3 高斯定理,1.3.5 高斯定理應(yīng)用舉例,由高斯定理：,§1.3 高斯定理,

14、1.3.5 高斯定理應(yīng)用舉例,例3.求均勻帶電無限長(zhǎng)的直線的電場(chǎng)分布，線密度為ηe。,【 解】：電場(chǎng)對(duì)稱性分析取合適的高斯面（圓柱面）計(jì)算通過閉合高斯面的電通量,,,,,,,,,,,,,利用高斯定理解出,,§1.3 高斯定理,1.3.5 高斯定理應(yīng)用舉例,例4. 求均勻帶電的無限平面薄板的場(chǎng)強(qiáng)，面密度為σe。,【 解】：電場(chǎng)對(duì)稱性分析取合適的高斯面（圓柱面）計(jì)算通過閉合高斯面的電通量,§1.3 高斯定理,

15、1.3.5 高斯定理應(yīng)用舉例,例4. 求均勻帶電的無限平面薄板的場(chǎng)強(qiáng)，面密度為σe。,計(jì)算電通量,全空間E均勻,§1.3 高斯定理,1.3.5 高斯定理應(yīng)用舉例,（1）高斯定理是靜電場(chǎng)的基本性質(zhì)之一，可由庫(kù)侖定律推導(dǎo)得到。（2）高斯定理、場(chǎng)強(qiáng)積分都可求解電場(chǎng)，其差別為： a) 高斯定理：僅用高斯定理只能求對(duì)稱（特殊帶電體系的電場(chǎng)分布。

16、 電通量不為零的面上E相等。 積分方法：可以求任意帶電體系的場(chǎng)強(qiáng)分布 b) 由高斯定理求E簡(jiǎn)單，積分方法求E復(fù)雜。（3）高斯定理與電場(chǎng)疊加原理結(jié)合求電場(chǎng) 帶電體系：由幾個(gè)對(duì)稱帶電體組成（4）高斯定理求電場(chǎng)的要點(diǎn) a)對(duì)稱性分析； b)電場(chǎng)方向分析； c) 高斯面選??；d) 求通量、面內(nèi)電荷，在求解方程。,[高斯定理及應(yīng)用總結(jié)],&#

17、167;1.3 高斯定理,1.3.5 高斯定理應(yīng)用舉例,[高斯定理及應(yīng)用總結(jié)],（5）高斯定理中q 、 E的理解 q為高斯面內(nèi)的電荷，電場(chǎng)E可能由高斯面內(nèi)、外的電荷產(chǎn)生。,（6）高斯定理的局限性：不能完整地地描述電場(chǎng)原因：高斯定理僅包含了庫(kù)侖定律的部分（即 電通量）性質(zhì),只能求解特殊帶電體系的電場(chǎng)。分析：根據(jù)庫(kù)侖定律得到靜電場(chǎng)的其他定理：電場(chǎng)環(huán)路定理。,作業(yè)：pp. 49-50