標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量

1、引例　甲、乙兩射手各打了10發(fā)子彈，每發(fā)子彈 擊中的環(huán)數(shù)分別為：,問哪一個射手的技術(shù)較好？,解　首先比較平均環(huán)數(shù),§3.2 方差,再比較穩(wěn)定程度,甲,乙,乙比甲技術(shù)穩(wěn)定．,進(jìn)一步比較平均偏離平均值的程度,甲：,乙：,,,定義　若E((X - E(X))2)存在，則稱其為隨機(jī)變量X的方差，記為D(X )．D (X ) = E((X - E(X))2)稱,為X 的均方差.,方差的概念,(X - E(X))2——隨機(jī)變量X 的取值偏

2、離平均值的情況，是X的函數(shù)，也是隨機(jī)變量．,E(X - E(X))2——隨機(jī)變量X的取值偏離平均值的平均偏離程度——數(shù)．,若 X 為離散型 r.v.，概率分布為：,若 X 為連續(xù)型，概率密度為f (x)．,常用的計算方差的公式：,D (C) = 0,D (aX ) = a2D(X),,D (aX + b ) = a2D(X),特別地，若X ，Y 相互獨(dú)立，則,方差的性質(zhì),,,,若,相互獨(dú)立，,為常數(shù)，則,若X ，Y 獨(dú)立,,,對任意常數(shù)

3、C，D (X ) ? E(X – C)2 ，當(dāng)且僅當(dāng)C = E(X )時等號成立．,D (X ) = 0,,P (X = E(X))=1,稱為X 依概率 1等于,,,性質(zhì) 1 的證明,性質(zhì) 2 的證明,常數(shù)E(X)．,性質(zhì)3的證明,當(dāng)X，Y相互獨(dú)立時，,注意到,,性質(zhì) 4 的證明：,當(dāng)C = E(X )時，顯然等號成立；,當(dāng)C ? E(X )時，,例1　設(shè)X ~ P (?)，求D ( X )．,解,,,方差的計算,例2　設(shè)X ~ B(

4、 n，p)，求D(X )．,解一　仿照上例求D (X )．,解二　引入隨機(jī)變量,相互獨(dú)立，,故,例3　設(shè)X ~ N ( ?，? 2)，求D( X )．,解,常見隨機(jī)變量的方差,,,分布,方差,概率分布,,參數(shù)為p 的 0-1分布,p(1-p),B(n，p),np(1-p),P(?),?,,,分布,方差,概率密度,,區(qū)間(a，b)上的均勻分布,E(?),N(?，? 2),例4　已知X ，Y 相互獨(dú)立，且都服從N (0，0.5)，求E(

5、| X – Y | )．,解,故,例5　設(shè)X 表示獨(dú)立射擊直到擊中目標(biāo) n 次為止所需射擊的次數(shù)，已知每次射擊中靶的概率為 p ，求E(X )，D(X )．,解 令X i 表示擊中目標(biāo) i - 1 次后到第 i 次擊中目標(biāo)所需射擊的次數(shù)，i = 1，2，…， n．,相互獨(dú)立，且,故,標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量,設(shè)隨機(jī)變量 X 的期望E(X )、方差D(X )都存在，且D(X ) ? 0，則稱,為 X 的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量．顯然，,僅知隨機(jī)變量的期望

6、與方差并不能確定其分布．　　例6,與,它們有相同的期望、方差；但是分布卻不同．,解,但若已知分布的類型，及期望和方差，常能確定分布.,例7　已知 X 服從正態(tài)分布，E(X ) = 1.7，D(X ) = 3，Y = 1 – 2 X ，求 Y 的密度函數(shù)．,解,例8　已知 X 的密度函數(shù)為：,其中 A ,B 是常數(shù)，且 E (X ) = 0.5．,求 A ,B； 設(shè) Y = X 2，求 E (Y )，D (Y )．,解　(1)

7、,,,,,(2),例9　將編號分別為 1 ~ n 的 n 個球隨機(jī)地放入編號分別為 1 ~ n 的 n 只盒子中，每盒一球．若球的號碼與盒子的號碼一致，則稱為一個配對．求配對個數(shù) X 的期望與方差．,解,則,不相互獨(dú)立．,但,矩,1. K階原點(diǎn)矩　Ak=E(Xk)，k=1，2，… 而E(|X|k)稱為X的K階絕對原點(diǎn)矩；2. K階中心矩　Bk=E[X-E(X)]k，k=1，2，… 而E|X-E(X)|k稱為X的K階絕對中心

8、矩；3. K+l階混合原點(diǎn)矩 E(Xk Yl)，k，l=0，1，2，…；4. K+l階混合中心矩 E{[X?E(X)]k[Y?E(Y)]l}，k，l=0，1，2，…,幾個重要不等式,在概率論中，有些不等式對概率論的理論與應(yīng)用起著很重要的作用．,馬爾科夫不等式,設(shè)非負(fù)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望存在，則對任意正數(shù)?，有,證明　設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，密度函數(shù)為f(x)，則對任意正數(shù)?，有,推論1　設(shè)r.v.X的k階絕對原點(diǎn)矩存在

9、，則對任意??0，有,證明　因?yàn)閨X|非負(fù)，由馬爾科夫不等式得,若r.v.X的期望和方差存在，則對任意??0，有,它有以下等價的形式：,推論2　切貝曉夫(Chebyshev)不等式,證明　因?yàn)镈X存在，所以EX²存在，從而EX存在，由馬爾科夫不等式得,得證．,設(shè)(X，Y)是一個二維隨機(jī)變量，若EX²<?，EY²< ?，則EXY存在，且,等號成立的充要條件是,,證明　先證定理的第一部分，由不等式,