1.4hermite插值

1、1.4 Hermite插值,有時候，構(gòu)造插值函數(shù)除了函數(shù)值的條件以外，還需要一定的光滑性條件，比如一階導(dǎo)數(shù)值等，這種插值稱為Hermite插值。,稱為二重密切Hermite插值,1,例：設(shè) x0 ? x1 ? x2, 已知 f(x0)、 f(x1)、 f(x2) 和 f (x1), 求多項式 P(x) 滿足 P(xi) = f (xi)，i = 0, 1, 2，且 P (x1) = f (x1), 并估計誤差。,模仿 Lagra

2、nge 多項式的思想，設(shè),解：首先，P 的階數(shù) =,3,,h0(x),有根,x1, x2，且 h0 (x1) = 0 ? x1 是重根。,又: h0(x0) = 1 ? C0,,,h2(x),與h0(x) 完全類似。,,2,h1(x),有根 x0, x2 ?,由余下條件 h1(x1) = 1 和 h1(x1) = 0 可解。,有根 x0, x1, x2 ?,與 Lagrange型 分析完全類似,3,插值誤差,,仿照Lagran

3、ge插值方法，先確定多項式插值函數(shù)空間的維數(shù)（？），,注意到已知條件有2(n+1)個，故插值多項式最高次數(shù)為,對二重密切Hermite插值,4,2n+1。,,,5,構(gòu)造基函數(shù)的一般步驟（方法）：,1、首先確定插值多項式的最高項次數(shù)， 而函數(shù)空間的維數(shù)=最高項次數(shù)+1,2、假設(shè)一組基函數(shù)，寫出插值多項式,3、列出基函數(shù)滿足的公式（畫表），求基函數(shù),6,,,,,給定一階導(dǎo)數(shù)值的差商表,7,差商型二重密切Hermite插值公式,8

4、,誤差分析,類似Lagrange插值的分析方法,9,,二重密切Hermite插值誤差,10,,,,11,,作差商表,,,插值余項：,例：在[?5, 5]上考察 的Ln(x)。取,n 越大，端點附近抖動越大,問題： 是否插值函數(shù)次數(shù)越高越好呢？,12,,1.5 分段插值,Runge現(xiàn)象,例：,等距節(jié)點構(gòu)造10次Lagrange插值多項式,Runge1901年發(fā)現(xiàn)，劇烈震蕩現(xiàn)象,等距高次插值，數(shù)值

5、穩(wěn)定性差，本身是病態(tài)的。,13,分段線性插值,每個小區(qū)間上，作線性插值,(1),14,,誤差,可以看出,15,收斂，可惜只一階精度，不夠光滑。類似，可以作二重密切Hermite插值,結(jié)論：使用分段、低階插值,16,1.6 三次樣條插值,分段低階插值，收斂性好，但光滑性不夠理想。在工業(yè)設(shè)計中，對曲線光滑性要求高，如：流線型 設(shè)想這樣一曲線：次數(shù)不高于3次的插值，整條曲線具有2階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，稱為三次樣條函數(shù)插值。,17,

6、18,例,則每個小區(qū)間不高于3次的多項式,有4n個未知數(shù)，我們的已知條件如下：,共3n-3+n+1=4n-2個條件,19,m關(guān)系式— 節(jié)點間的一階導(dǎo)數(shù)關(guān)系,需要附加2個條件，通常在邊界處給出,所以，是3次二重密切Hermite插值，記,20,記,,21,由,22,,,,,,,23,需附加條件，方可求解,有,24,邊界條件（三種）,(1) 固支邊界條件,(2),(3) 周期邊界條件（解n個方程n個未知數(shù)）,25,M關(guān)系式— 節(jié)點間的二