動力系統(tǒng)簡介文獻(xiàn)綜述

1、<p><b>　　畢業(yè)論文文獻(xiàn)綜述</b></p><p><b>　　數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)</b></p><p><b>　　動力系統(tǒng)簡介</b></p><p>　　前言部分（說明寫作的目的，介紹有關(guān)概念、綜述范圍，扼要說明有關(guān)主題爭論焦點）</p><p>　　本

2、文給出動力系統(tǒng)的相關(guān)概念，了解動力系統(tǒng)國內(nèi)外的研究動態(tài)和最新成果，動力系統(tǒng)的應(yīng)用現(xiàn)狀；并對動力系統(tǒng)的性質(zhì)加以總結(jié)。 </p><p>　　動力系統(tǒng)就最廣泛的意義來說是一門研究系統(tǒng)演化規(guī)律的數(shù)學(xué)學(xué)科。這里，演化的直接含義是就時間而言。因此，動力系統(tǒng)又被簡單地稱為時間的數(shù)學(xué)。時間是連續(xù)的，比如經(jīng)典的微分方程定性論；也可以是離散的，比如迭代論。演化的進(jìn)

3、一步的含義是就系統(tǒng)空間而言，比如向量場的擾動和映射的擾動。動力系統(tǒng)是屬于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)，處于微分方程和拓?fù)鋵W(xué)的一個交匯點。同時，動力系統(tǒng)與物理、力學(xué)甚至是生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)都有著密切的關(guān)系，與工程技術(shù)的許多方面是互相滲透的。</p><p>　　隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)正日益廣泛地應(yīng)用于各種科技和生產(chǎn)領(lǐng)域，并建立了許多數(shù)學(xué)模型來描述各種現(xiàn)實客體。這其中的一個中心問題便是研究系統(tǒng)的性質(zhì)，以及研究系統(tǒng)能夠穩(wěn)定地起作用的

4、條件，這就需要我們?nèi)W(xué)習(xí)和研究兩種最常見的穩(wěn)定性：即Lyapunov穩(wěn)定性和實用穩(wěn)定性。在近十幾年來人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的理論和應(yīng)用的研究，形成了世界性的熱潮，其中穩(wěn)定性就扮演了重要的角色。</p><p>　　由于大量的工程系統(tǒng)都含有時滯，時滯的存在是系統(tǒng)不穩(wěn)定的一個重要因素，因而時滯系統(tǒng)的研究已成為控制理論研究的熱門課題。到目前為止，具有時滯的線性區(qū)間動力系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性的討論多數(shù)借助于正定矩陣、膨矩陣的性質(zhì)或微分不

5、等式做工具。</p><p>　　二、主體部分（闡明有關(guān)主題的歷史背景、現(xiàn)狀和發(fā)展方向，以及對這些問題的評述）</p><p>　　動力系統(tǒng)的經(jīng)典背景是常微分方程的解族所確定的整體的流動。在常微分方程發(fā)展早期，牛頓、萊不尼茲、歐拉、伯努里(家族)等發(fā)現(xiàn)了許多通過初等函數(shù)或他們的積分表達(dá)式等方法來求常微分方程的通解。但是，Liouville 在1841年證明了大多數(shù)微分方程都不能求得顯式解。

6、因而動力系統(tǒng)的歷史一般可以追溯到19世紀(jì)末法國大數(shù)學(xué)家Henri Poincaré創(chuàng)立的微分方程定性論，或者可以稱為微分方程的幾何理論。其精神是不通過微分方程的顯式解而直接研究解得幾何和拓?fù)湫再|(zhì)。這是由于已經(jīng)知道的大多數(shù)微分方程都不可能求出顯式解。20世紀(jì)早期Birkhoff關(guān)于拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)的公理化式的工作為這一學(xué)科建立了大范圍的理論框架。這使得動力系統(tǒng)的含義更為廣泛，可以不一定由微分方程產(chǎn)生。經(jīng)過了幾十年相對寂靜的時期，從2

7、0世紀(jì)60年代開始，動力系統(tǒng)，尤其是與計算機(jī)迭代直接相關(guān)的離散時間的動力系統(tǒng)，迅速活躍起來。新的研究方向相繼產(chǎn)生，形成了各具實力的美國學(xué)派、前蘇聯(lián)學(xué)派、歐洲學(xué)派、巴西學(xué)派以及廖山濤先生獨樹一幟的理論為代表的中國學(xué)派。經(jīng)過40多年的迅速發(fā)展，動力系統(tǒng)前進(jìn)的勢頭，越來越生機(jī)勃勃。</p><p>　　今天的動力系統(tǒng)大致有微分動力系統(tǒng)、Hamilton動力系統(tǒng)、拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)、復(fù)動力系統(tǒng)、遍歷論、隨機(jī)動力系統(tǒng)等若干方向。

8、其界限并不嚴(yán)格，相互交叉很多。微分動力系統(tǒng)研究一般的可微系統(tǒng)。它的發(fā)端是60年代初興起的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性研究。所謂的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性是說系統(tǒng)的整體拓?fù)湓诳晌_動下保持不變，這顯然是一恢弘的概念。其研究產(chǎn)生了很大的影響，成為現(xiàn)代動力系統(tǒng)誕生的一個標(biāo)志。結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性系統(tǒng)比較理想而少見。大量存在的，是不那么結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的系統(tǒng)，和很不結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的瞬息萬變的系統(tǒng)。目前微分動力系統(tǒng)的研究對非結(jié)構(gòu)穩(wěn)定系統(tǒng)正在取得大量激動人心的成果。與一般的微分動力系統(tǒng)相比，比較特殊的是

9、自成體系的Hamilton動力系統(tǒng)理論。這一理論有天體力學(xué)的背景，更加地傳統(tǒng)，也更貼近現(xiàn)實的物理世界。其結(jié)構(gòu)精巧微妙，擁有很多深刻的發(fā)現(xiàn)，比如，著名的KAM理論。拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)則研究一般的連續(xù)系統(tǒng)，在純粹的意義下研究動力系統(tǒng)最基本的概念，最廣泛的共性。其理論清晰透徹，高度凝練。有和動力系統(tǒng)緊密相關(guān)的分型理論。分形理論以其奇異的幾何圖形和氛圍概念傾倒著無數(shù)研究它的學(xué)者，也為動力系統(tǒng)的復(fù)雜研究對象提供了鮮明的幾何直觀。動力系統(tǒng)的復(fù)雜不變集常常

10、是</p><p>　　動力系統(tǒng)的生命力也許特別來自它與實際應(yīng)用的聯(lián)系。微分方程本來就有聯(lián)系實際的特點。現(xiàn)代計算機(jī)武裝起來的離散動力系統(tǒng)的劃時代發(fā)展，使這一聯(lián)系更為現(xiàn)實有力。比如著名的Lorcnz系統(tǒng)和Henon系統(tǒng)，就是氣象學(xué)家和天文學(xué)家分別發(fā)現(xiàn)的。計算機(jī)屏幕上的演示說明，這兩個系統(tǒng)的核心部分象是有復(fù)雜的吸引子。幾十年的研究逐步揭開了其中極為豐富優(yōu)美的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，確定它們的確是非結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的奇異吸引子。說這樣的成果

11、是理論的還是應(yīng)用的都不足以表達(dá)人俐的歡愉，因為理論和應(yīng)用在這里同時達(dá)到了極致。</p><p>　　動力系統(tǒng)的一些觀念產(chǎn)生了遠(yuǎn)遠(yuǎn)越出本學(xué)科的影響。突出的是近年來深受注意的混沌與復(fù)雜性的科學(xué)觀念。所謂混沌是指高度復(fù)雜的、對誤差極其敏感的性態(tài)。60年代初在結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性研究中發(fā)現(xiàn)的Smalc馬蹄揭示，復(fù)雜性可以與結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性共存。這一重要發(fā)現(xiàn)催生了現(xiàn)代的混沌概念。對混沌概念是否有統(tǒng)一的數(shù)學(xué)定義并不重要。已有的許多不同的數(shù)學(xué)

12、描述，恰恰表現(xiàn)了這一概念不尋常的魅力。重要的是它的認(rèn)識論意義。它發(fā)現(xiàn)，復(fù)雜的并曾經(jīng)被認(rèn)為是不可認(rèn)識的現(xiàn)象，其實是我們這個世界基本的存存方式，是不可能回避也無須回避的現(xiàn)實。高度復(fù)雜而又可認(rèn)識——這或許是思辯的命題正在成為人們習(xí)以為常的生活內(nèi)容?？梢哉f，混沌與復(fù)雜性的觀念，是動力系統(tǒng)能夠引以自豪地獻(xiàn)給整個科學(xué)的禮物。</p><p>　　以廖山濤教授為代表，我國老一輩數(shù)學(xué)家在動力系統(tǒng)領(lǐng)域作出了重要的貢獻(xiàn)。廖山濤先生從

13、上世紀(jì)60年代初即投身于當(dāng)時初現(xiàn)端倪的微分動力系統(tǒng)領(lǐng)域，是這一領(lǐng)域在世界范圍內(nèi)最早的幾位開拓者之一。在隨后十幾年與世界相對隔絕乃至動亂的年代，廖先生在他小小的書齋里，頑強(qiáng)地進(jìn)行著少見地系統(tǒng)而深刻的數(shù)學(xué)研究。他的典范方程組和阻礙集兩大理論就是在這一期間完成的，為我國數(shù)學(xué)界一段佳話。這些理論因其獨到之處成為今天動力系統(tǒng)中國學(xué)派的標(biāo)志。在廖先生和其他老一輩數(shù)學(xué)家的長期辛勤耕耘栽培下，幾十年來我國動力系統(tǒng)的各個分支都有了很大的發(fā)展，有了一支相當(dāng)

14、整齊的研究隊伍，尤為可喜的是有才華的年輕人紛紛脫穎而出。我國動力系統(tǒng)學(xué)者的研究工作已經(jīng)走向世界，在國際上有了不可忽視的地位。</p><p>　　1892年，俄國著名數(shù)學(xué)力學(xué)家Lyapunov在他的博士論文"運動穩(wěn)定性的一般問題中"，給出了漸近性理論中運動穩(wěn)定性的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義和用來討論漸近性行為的一般數(shù)學(xué)方法。他將由Peano、Bendixson和Darboux等人建立的微分方程的解對初值和參

15、數(shù)的連續(xù)依賴性這一概念，從自變量在有限區(qū)間上變化拓展到無窮區(qū)間上，科學(xué)地給出了系統(tǒng)中運動的穩(wěn)定和漸近穩(wěn)定的概念；他從類似系統(tǒng)總能量的物理觀念得到啟示，提出了后來被人們稱為Lyapunov函數(shù)的概念。從而建立了穩(wěn)定性理論研究的框架，奠定了動力系統(tǒng)漸近性行為的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)。隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)正日益廣泛地應(yīng)用于各種科技和生產(chǎn)領(lǐng)域，并建立了許多數(shù)學(xué)模型來描述各種現(xiàn)實客體。這其中的一個中心問題便是研究系統(tǒng)的性質(zhì)，以及研究系統(tǒng)能夠穩(wěn)定

16、地起作用的條件。在實際問題中，系統(tǒng)的實用穩(wěn)定性由一些特定的集合刻畫，這些集合反映實際擾動情況和在此擾動影響下系統(tǒng)的預(yù)期運動狀態(tài)。動力系統(tǒng)的穩(wěn)定性一般有結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、、Lyapunov穩(wěn)定、Poincaré穩(wěn)定等。在微分方程中所說的穩(wěn)定性一般是指Lyapunov穩(wěn)定。具體的說，如果用集合表示系統(tǒng)的初始區(qū)域，用集合表</p><p>　　微分動力系統(tǒng)研究一般的可微系統(tǒng)。起初的研究是著眼于解的局部拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，特別是

17、對周期解及奇點附近軌線的性態(tài)描述。如閉軌的穩(wěn)定性、(線性)奇點的拓?fù)浞诸惖?，并有一大批卓越的?shù)學(xué)家投身其中(比如，V. I. Arnold、Lyapunov 等)。自上世紀(jì)30年代Andronov 和Pantryagin對微分方程結(jié)構(gòu)穩(wěn)定研究以來，人們開始了對動力系統(tǒng)的整體研究。</p><p>　　微分動力系統(tǒng)的現(xiàn)代研究興于20世紀(jì)60年代。先是M. Peixoto1959年和1962年發(fā)表文章，討論維的結(jié)構(gòu)穩(wěn)

18、定常微系統(tǒng),重新處理Andronov 和Pantryagin的成果，將其擴(kuò)充至閉曲面上，并加進(jìn)新的所謂稠密性的內(nèi)容，引人注意。而一般認(rèn)為微分動力系統(tǒng)作為一門學(xué)科的開始是Steve Smale。一維動力系統(tǒng)主要是線段自映射和圓周自映射的同胚，因為一維緊流形拓?fù)渖峡淳途€段和圓周兩種。</p><p>　　總結(jié)部分（將全文主題進(jìn)行扼要總結(jié)，提出自己的見解并對進(jìn)一步的發(fā)展方向做出預(yù)測）</p><p&

19、gt;　　線性系統(tǒng)幾乎是常微分方程中存在完整理論的唯一的一大類。這種理論本質(zhì)上是線性代數(shù)的一個分支，它允許我們?nèi)ソ馑械淖灾尉€性方程。另一方面，這種線性方程的理論對于用一次近似來研究非線性問題也是有用的。平面動力系統(tǒng)因為其較好的幾何直觀，在過去幾十年來獲得了長足的發(fā)展。平面動力系統(tǒng)的許多結(jié)果都是由方程解的存在唯一性和平面Jordan 定理這個簡單的幾何事實推得。關(guān)于閉軌的一些結(jié)果主要是H. Poincare 和I. Bendixson

20、得到的。必須指出的是，很多結(jié)論只在歐氏平面或二維球面成立，這是因為Jordan定理的緣故。偏微分方程的定性理論又稱無窮維動力系統(tǒng)。有限維動力系統(tǒng)的研究至今已取得了許多重要的成果，但是，動力系統(tǒng)的問題遠(yuǎn)遠(yuǎn)不限于有限維的情形，無窮維動力系統(tǒng)是有限維動力系統(tǒng)的深入和發(fā)展。許多數(shù)學(xué)物理問題可以用無窮維動力系統(tǒng)來描述，或等價于某類函數(shù)空間上的連續(xù)半群的性質(zhì)。無窮維動力系統(tǒng)中一個非常重要的概念就是連續(xù)半群的整體吸引子，它可以解釋演化系統(tǒng)的最終性態(tài)。

21、判別整體吸引子的存在性的一個經(jīng)典結(jié)果是證明連續(xù)半群是一致緊的且存在一個有界吸收集。然而，許多問題，特別是無界域上的拋物問題和雙曲問</p><p>　　動力系統(tǒng)的一些基本數(shù)量隨時間增長的規(guī)律做了扼要的提煉，對整個系統(tǒng)起著宏觀標(biāo)志的作用，有時甚至是火龍點睛。未來動力系統(tǒng)的各個分支將更緊密地互相呼應(yīng)，互相交織地向前發(fā)展。目前富于挑戰(zhàn)性的重要問題仍然不斷出現(xiàn)。動力系統(tǒng)的生命力也將更加地旺盛隨著它與實際應(yīng)用的聯(lián)系越來越緊

22、密。</p><p>　　四、參考文獻(xiàn)（根據(jù)文中參閱和引用的先后次序按序編排）</p><p>　　[1] 阿.阿.瑪爾德紐克,孫振綺.實用穩(wěn)定性及應(yīng)用[M].科學(xué)出版社.2004.</p><p>　　[2] 年曉紅.具有時滯的線性區(qū)間系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性[J].控制理論與應(yīng)用,1988,15(1):134-138.</p><p>　　[3]

23、 J. Palis, On the -stability conjecture, Publ. Math. IHES, 66 (1988) 211~215.</p><p>　　[4] D. Birkhoff. Dynamical systems, Amer. Math. Soc., 1991</p><p>　　[5] 文蘭.動力系統(tǒng)簡介[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展.2002,31(4):1-1.&l

24、t;/p><p>　　[6] 廖山濤.微分動力系統(tǒng)的定性理論[M].北京.北京科學(xué)出版社.1992.</p><p>　　[7] 廖曉昕.動力系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論和應(yīng)用[M].北京.國防工業(yè)出版社.2000.</p><p>　　[8] 馬知恩.周義倉.常微分方程定性與穩(wěn)定性方法[M].科學(xué)出版社.2001. </p>

25、<p>　　[9] 楚天廣.時滯系統(tǒng)的實用穩(wěn)定性(碩士學(xué)位論文).哈爾濱.哈爾濱工業(yè)大學(xué).1989.</p><p>　　[10] A. Andronov and L. Pontryagin, Systèmes grossiers, Dokl. Akad. Nauk. USSR 14 (1937).247</p><p><b>　　~251.</b&

26、gt;</p><p>　　[11] M. Peixoto, Structural stability on two-dimensional manifolds, Topology, 1 (1962).101~120.</p><p>　　[12] S. Smale, Differentiable dynamical systems, Bull. Amer. Math. Soc. 73 (

27、1967) 747~817.</p><p>　　[13] 張筑生,微分動力系統(tǒng)原理[M],科技出版社,1987.</p><p>　　[14] Q. Ma, S. Wang, C. Zhong, Necessary and sufficient conditions for the existence of global</p><p>　　attractors