具有Dini連續(xù)性系數(shù)的非線性橢圓方程組弱解的正則性.pdf

1、本文我們研究在自然增長條件下，具有Dini連續(xù)性系數(shù)的非線性橢圓方程組—divA(x，u，Du)=B(x，u，Du)， x∈Ω弱解u(其梯度Du的增長指標(biāo)為m=2及1＜m＜2)的正則性問題．對于部分正則性證明的經(jīng)典方法是”凝固系數(shù)法”，即通過”凝固系數(shù)”得到常系數(shù)方程組再把解跟由”凝固系數(shù)”后得到的常系數(shù)方程組所構(gòu)成的Dirichlet問題的解進(jìn)行比較，得到重要的衰減估計并進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)的迭代，從而推出部分正則性結(jié)果．其中需要用到復(fù)雜而繁瑣的

2、反Holder不等式或者Gehring引理，而且得到的Hodler指標(biāo)不是最優(yōu)的．即：Hodler正則性指標(biāo)低于已知系數(shù)函數(shù)的Hodler連續(xù)性條件中的指標(biāo)．本文采用部分正則性研究的新的方法—A—調(diào)和逼近方法，來研究具有自然增長條件的非線性偏微分方程組弱解的部分正則性．這種新方法是通過A—調(diào)和逼近引理架起A—調(diào)和函數(shù)和非線性偏微分方程組之間的橋梁，使得我們能夠根據(jù)文章的實際需要構(gòu)造某個跟弱解u相關(guān)的特定函數(shù)，通過A—調(diào)和逼近引理，揭示了

3、存在這樣的A—調(diào)和函數(shù)在L2意義下跟該特定函數(shù)靠得非常近，從而可以利用A—調(diào)和函數(shù)那些好的性質(zhì)，推出需要的衰減(Decay)估計，由此得到部分正則性結(jié)果． 在自然增長條件下，當(dāng)m=2時，雖然2002年Duzaar和Gastel在文[10]，袁秋寶和譚忠在文[26]中分別討論了兩類不同形式具有Dini連續(xù)性系數(shù)的非線性橢圓方程組弱解的正則性問題，但我們這里討論的，是—類更為廣泛的具有Dini連續(xù)性系數(shù)的非線陛橢圓方程組，實際上它是

4、A關(guān)于變量(x，ξ)的連續(xù)性為對所有的x，x～∈Ω，ξ，ξ～∈ RnN和p∈RnN有下式成立： (1+｜p｜)—1｜A(x，ξ，p)—A(x～，ξ～，p)｜≤κ(｜ξ｜)μ((｜x—x～｜2+｜ξ—ξ～｜2)β/2)這—條件是對2000年Duzaar和Grotowski文[14]關(guān)于A假設(shè)條件的推廣，關(guān)于這個問題以前并沒有很好的結(jié)果． 在自然增長條件下，當(dāng)1＜m＜2時，由于A-調(diào)和逼近技巧已經(jīng)不再適用，慶幸的是另一種類似

5、于p-Laplace形式的A-調(diào)和逼近方法，使得我們可以對這類Dini系數(shù)非線性橢圓方程組弱解的部分正則性問題進(jìn)行探討．然而此刻卻出現(xiàn)了積分函數(shù)的指數(shù)-1/2＜m-2/2＜0是負(fù)的情形，這使得我們在m=2時的技巧失效．為了克服這個困難，我們借鑒了1989年Accrbi和Fusco處理變分泛函極小的方法及陳淑紅[28]處理1＜m＜2情形下非線性橢圓方程組弱解的部分正則性問題的方法，推出相應(yīng)的不等式，證明了在自然增長條件下的Cacciopp

6、oli不等式，并得到了在這種情行的最優(yōu)部分正則性結(jié)果．因此，本文在自然增長條件下的Caccioppoli不等式的證明是全新的，在1＜m＜2情形下，弱解的部分正則性結(jié)果也是嶄新的． 本文主要的創(chuàng)新點是：把系數(shù)A的Holder連續(xù)性減弱為Dini連續(xù)性，弱解的部分正則性結(jié)論仍然成立． 下面是本文的兩個主要結(jié)論： (1)當(dāng)｜A(x，ξ，p)-A(x～，ξ～，p)｜≤K(｜ξ｜)μ((｜x-x～｜2+｜ξ-ξ～｜2)β/

7、2)(1+｜p｜)，其中x，x～∈Ω，ξ，ξ-∈RN，p∈RnN，我們得到定理2.1： 設(shè)u∈H1，2(Ω，RN)是滿足條件(H1)-(H3)，(μ1)-(μ3)的(2.2')的弱解．則存在—個相對閉集SinguΩ使得u∈C1(Ω＼Singu，RN)．進(jìn)—步有Singu∑1∪∑2，其中特別地，Ln(Singu)=0． (2)當(dāng)1＜m＜2，在條件｜A(x，ξ，p)-A(x～，ξ～，p)｜≤ K(｜ξ｜)μ(｜x-x～｜m+