黎曼流形上的POINCAR(-)型不等式的研究.pdf

1、一個抽象空間稱為一個流形,如果局部上的每一點都有一個鄰域與歐式空間同胚,流形整體上的結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜。然而在流形上,很多復(fù)雜的結(jié)構(gòu)都可以用簡單空間上相關(guān)的好的性質(zhì)來理解和表示,也正因為如此,流形成為數(shù)學(xué)上和物理學(xué)上的非常重要的研究對象。研究流形上各樣的概念和理論就變得愈發(fā)重要了。在這篇論文中,我們在流形上考慮Poincaré型不等式。一個函數(shù)范數(shù),如果它在某個域上的值與其平均值的差值可以被這個函數(shù)的梯度或高階梯度在某種意義下控制,則稱它滿足

2、廣義上的Poincaré型不等式。這類不等式具體可以包括Poincaré型不等式,Caccioppoli不等式,Hardy-littewood不等式和反向Ho¨lder不等式。這些不等式在很多領(lǐng)域中,如研究偏微分方程理論和勢理論,都起著非常重要的做用。由于流形的復(fù)雜性,本文選擇黎曼流形來研究,特別地,選擇平坦黎曼流形。本文我們推廣歐式空間中的Poincaré型不等式到平坦的黎曼流形中來,接著在平坦黎曼流形中,討論了加雙權(quán)的Poincar