格路徑和對(duì)稱函數(shù).pdf

1、Cauchy核的對(duì)角化是對(duì)稱函數(shù)理論中最重要的定理之一.這個(gè)定理現(xiàn)在稱為Cauchy定理.這篇博士論文的主要工作是從格路徑的觀點(diǎn)研究關(guān)于Schur函數(shù)的Cauchy核,并且給出了(齊次)差分算子和特殊Schubert多項(xiàng)式的格路徑解釋.后者是我們?cè)陉P(guān)于Schubert多項(xiàng)式的Cauchy核對(duì)角化方面所做的努力(Alain Lascoux猜想在非交換的情況下也成立,但目前為止還沒有被證明).首先我們得到了一個(gè)帶標(biāo)志的Cauchy行列式,建

2、立了這個(gè)行列式和不交格路徑叢的對(duì)應(yīng),從而得到了關(guān)于Schur函數(shù)的Cauchy等式.在此基礎(chǔ)上,通過選擇格路徑上不同的起點(diǎn)和終點(diǎn),我們很容易地得到了Gessel的一個(gè)等式,該等式將關(guān)于Schur函數(shù)的Cauchy和用全變量集上的完全對(duì)稱函數(shù)表示了出來.與此等價(jià)的代數(shù)證明需要Cauchy-Binet公式和基于超完全對(duì)稱函數(shù)上的multi-Schur函數(shù)兩方面的知識(shí).我們還利用Jacobi對(duì)稱化子給出了Cauchy行列式的一個(gè)計(jì)算.我們接著

3、給出了斜Schubert多項(xiàng)式的楊表定義,這類多項(xiàng)式是由帶標(biāo)志的雙斜Schur函數(shù)給出的,Lascoux稱之為斜Schubert多項(xiàng)式.實(shí)際上,這些多項(xiàng)式是由321禁排模式的排列決定的雙變?cè)系腟chubert多項(xiàng)式.基于Chen-Li-Louck匹配引理,我們從斜Schubert多項(xiàng)式的差分算子定義出發(fā)構(gòu)造了他們的格路徑解釋.這個(gè)格路徑解釋直接可以得出斜Schubert多項(xiàng)式的行列式定義和楊表定義.在單變?cè)那闆r下,斜Schube

4、rt多項(xiàng)式退化成帶標(biāo)志的斜Schur函數(shù),這類函數(shù)已經(jīng)被Wachs和Billey-Jockusch-Stanley研究.并且,我們提供了齊次差分算子的一個(gè)格路徑解釋,從而證明了每一個(gè)帶標(biāo)志的Schur函數(shù)可以通過作用齊次算子序列在某個(gè)單項(xiàng)式上得到.最后,我們給出了關(guān)于超Schur函數(shù)的Giambelli公式和Lascoux-Pragacz公式的格路徑證明.超Lascoux-Pragacz公式的格路徑構(gòu)造是和分拆的一個(gè)編碼有關(guān)的,這個(gè)編碼