鞍點問題的若干有效算法及其在圖像復原中的應用.pdf

1、鞍點線性系統源于許多科學計算與工程應用領域,如計算流體力學、橢圓偏微分方程的有限元和有限差分離散、加權等式約束最小二乘估計、圖像處理等.鞍點系統的求解不僅對整個問題的解決起著至關重要的作用,而且具有十分重要的理論意義和實際應用價值.如何根據具體物理背景和鞍點結構矩陣性質設計出一類高效、穩(wěn)健、實用的數值解法既是現代科學與工程計算的核心,又是當前數值計算工作者和工程技術人員的研究熱點.本文主要研究了離散化偏微分方程中一類鞍點問題的數值解法,

2、并將所得解法應用于圖像復原問題中出現的一類結構化線性系統的求解.
　　第一章給出了鞍點線性系統研究的背景意義、研究現狀,并概述了本文的主要研究內容、特色和創(chuàng)新之處.
　　第二章基于松弛預處理思想和松弛正定反Hermitian分裂方法,為大型稀疏非Hermitian鞍點問題提出了一類有效的廣義松弛正定反Hermitian分裂(GRPSS)預處理方法.理論研究了GRPSS預處理矩陣的特征值分布和收斂性,并且發(fā)現GRPSS預處理子

3、在某些范數意義下比RPSS預處理子更加接近初始系數矩陣.最后通過數值實驗驗證了此方法的有效性,并且發(fā)現理論與實驗結果完全吻合.
　　第三章對不可壓縮Navier-Stokes方程中廣義鞍點問題提出了一類修正松弛分裂(MRS)預處理解法.詳細地研究了此預處理方法所對應預處理矩陣最小多項式次數及其預處理矩陣的特征值分布.與GRS方法相比,在保持計算量不變的前提下,MRS預處理子更加接近原始矩陣.實驗證明了MRS方法的可行性和有效性.然

4、而在求解MDS和MRS方法所對應的預處理子系統時,每步都需要求解兩個子矩陣的逆.為此提出了一類新的塊上下三角分裂(BULT)迭代法,理論分析發(fā)現當結合Krylov子空間方法求解時,可以很好地避免上述子系統求逆這一困難,從而大大提高了Krylov子空間方法的求解效率.
　　第四章針對穩(wěn)態(tài)不可壓縮Navier-Stokes方程中的一類鞍點問題,提出了一類修正的SIMPLE(MS)預處理方法.通過對MS預處理矩陣的譜分析發(fā)現,在適當的條

5、件下,預處理矩陣的所有特征值將會緊緊地聚集在(1,0)點附近.從而克服了松弛的HSS方法其余特征值分布很廣的這一缺點.最后,從理論和實驗上得到MS預處理子比已有的一些較好的預處理子更為有效.
　　第五章研究了兩類特殊鞍點系統的數值解法,即復線性系統和奇異鞍點線性系統.對復線性系統提出了一類廣義的PMHSS(GPMHSS)方法,理論分析表明在選取適當的參數下,GPMHSS方法的譜半徑比PMHSS方法和ADPMHSS方法的譜半徑都要小

6、.此外,對奇異鞍點系統提出了一類增廣塊三角分裂(ABTS)預處理方法.此方法對應產生鞍點線性系統的一個恰當分裂且理論分析證明,ABTS預處理迭代方法會收斂到奇異鞍點問題的廣義逆解.同時發(fā)現,在結合ABTS預處理方法和GMRES方法進行求解時,也會收斂到預處理奇異鞍點系統的廣義逆解.最后給出了ABTS方法的最優(yōu)參數以及最佳收斂因子表達式.
　　第六章研究了圖像復原中得到的鞍點結構線性系統的上下三角(ULT)分裂迭代解法,給出了某些特

7、定條件下的最優(yōu)參數和最優(yōu)收斂因子.實驗結果顯示,與已有的SHSS和RGHSS方法相比,ULT方法更具競爭性和有效性,且可以有效地應用于圖像復原問題.
　　第七章首先將廣義的反Hermitian三角分裂(GSTS)迭代方法進行推廣并得到一類修正的廣義反Hermitian三角分裂(MGSTS)迭代解法.理論上給出了MGSTS方法求解圖像復原問題時的收斂性和擬最優(yōu)參數.最后通過數值比較驗證了此方法在在求解圖像復原問題時的高效性和精確性.