奇異積分算子及Euler方程中若干問題的研究.pdf

1、第一章中我們考慮Rn上強極大算子的可積性。對Rn上局部可積的函數(shù)f，它的H-L極大函數(shù)定義為 M(f)(x)=supx∈Q1/|Q|∫Q|f(y)dy. 其中Q表示方體。而它的強極大函數(shù)如下定義 MS(f)(x)=supx∈P1/|P|∫P|f(y)dy. 其中P表示邊平行于坐標軸的矩形。此外，定義多重極大算子 M*(f)(x)=Mn…M1(f)(x)， 其中Mj表示第j個坐標軸方向的一維

2、H-L極大算子。 當f有緊支集時，關(guān)于它的極大函數(shù)的可積性Stein在[66]有個著名的結(jié)果：對任意有限測度集E,M(f)∈L1(E)當且僅當f∈Lln+L(Rn)。 另外Jessen-Marcinkiewicz-Zygmund在[38]中證明了：對任意有限測度集E,M*(f)∈L1(E)當且僅當f∈L(ln+L)n(Rn)。這個結(jié)果也可參看Fava-Gatto-Gutiérez[31]。因為 MS(f)≤M*

3、(f)，所以當f∈L(ln+L)n(Rn)時對任意有限測度集E,MS(f)∈L1(E)。 在文獻[31]中他們猜測：如果對任意有限測度集E，MS(f)∈L1(E)，那么f∈L(ln+L)n(Rn)。在[1]和[35]中他們分別證明了存在許多函數(shù)f∈Lln+L(R2)使得對任意有限測度集E，MS(f)∈L1(E)。 在第一章中我們用更簡單的方法證明了他們的結(jié)果，更主要的是這里的方法適用于所有維數(shù)，而[1]和[35]很難應用

4、到高維歐氏空間。有趣的是高維空間對函數(shù)的要求和兩維是一樣的，我們主要證明了以下定理。 第二章中我們考慮一類H1粗糙核極大奇異積分算子的弱(1，1)有界性。對于f∈S(Rd)及Ω∈L1(Sd-1)滿足∫Sd-1Ω(x′)dx′=0，定義TΩ(f)(x)=limε→0+∫|x-y≥εΩ(y/|y|)/|d|f(x-y)dy. 在第三章中我們主要建立以下兩個定理。 定理3.1.3當Φ(x，t)=(t，φ(x1)γ(t)

5、)時，存在φ∈C∞(R1)以及γ(奇或偶)滿足(3.1.2)- (3.1.3)，但是HΦ，γ(≡HΦ)不是L2(R2)有界的。事實上這里的φ可以是性質(zhì)相當好的解析函數(shù)。 定理3.1.4當Φ(x，t)=(t，φ(x1)γ(t))時，如果φ=P是R1上的實多項式，γ∈C2(R1)且γ(0)=γ′(0)=0，γ″(t)＞0(t∈(0，∞))，γ是奇或偶函數(shù)， 另外如果再存在正數(shù)λ和M使得

6、 γ″(t)/γ′(t) -γ″(s)/γ′(s)≥ λ(s - t)M/(s+t)M+1,0＜t＜s, 那么我們有‖HPγ(f)‖2≤C‖f‖2(( )f∈S(R2))，其中C只依賴于λ，M和多項式P的次數(shù)。 這里的結(jié)果表明如果γ(t)替換成φ(x1)γ(t)，那么即使φ和γ都有相當好的性質(zhì)以前的定理也未必成立。 第四章主要研究了一般非倍測度下極大奇異積分算子作用在L∞和RBM

7、O上的性質(zhì)。 第五章考慮兩維理想的不可壓縮流體的Euler方程 { ( )u/( )t + u· ▽u = ▽P ▽ · u = 0 x ∈ R2, t ∈ (0, ∞) u(x,0)= u0(x) 其中u

8、=(u1(x，t)，u2(x，t))和P=P(x，t)分別表示點(x，t)∈R2×(0，∞)處的速度和壓力。 u被稱為方程在(0，∞)上初值為u0的弱解，如果它滿足下面條件： { (a)u∈Lloc2 (R2× (0, ∞)); (b) fu(t)· ▽φ = 0,( )φ ∈ C0∞(R2), t ∈ (0, ∞); (c)

9、∫0∞∫R2(u·( )t/( )t +∑2k,l=1ukul( )fk/( )xl)dxdt= -∫R2u0·f(·，0) ( )f ∈ C0∞([0, ∞) × R2)) and ▽· f = 0. 對于光滑的而且有有限能量的初始速度人們在上個世紀三十年代就知道方程存在唯 一的全局解，這也是著名的Beale-Kato-Majda[4]判別法的直接推論。 在第

10、六章中我們考慮三維不可壓縮Euler方程 {( )u/( )t+u·▽u+▽P=0 ▽·u=0 x∈R3,t ∈ (0, ∞) u(x, 0) = u0(x) 其中u=(u1(x.t)，u2(x，t)，u3(x，t))和P=P(x，