測(cè)度鏈上動(dòng)力方程解的分類與存在性.pdf

1、測(cè)度鏈上動(dòng)力方程理論不但可以統(tǒng)一微分方程和差分方程，更好地洞察二者之間的本質(zhì)差異，而且還可以更精確地描述那些有時(shí)隨時(shí)間連續(xù)出現(xiàn)而有時(shí)又離散發(fā)生的現(xiàn)象.在探討測(cè)度鏈上的動(dòng)力方程的動(dòng)力學(xué)行為時(shí)人們所熟悉的基本工具諸如Fermat定理，Role定理以及介值定理等不再成立，同時(shí)很難找到適應(yīng)不同測(cè)度鏈的模擬程序，這些在給測(cè)度鏈理論研究帶來諸多困難的同時(shí)，也更引起了廣大學(xué)者的興趣。 本文首先考慮了測(cè)度鏈上一階和二階動(dòng)力方程組解的分類問題，根

2、據(jù)所討論問題的動(dòng)力學(xué)漸近性，對(duì)其最終正解進(jìn)行了細(xì)致的分類.通過構(gòu)造不同的Banach空間，并借助于Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理，Knaster不動(dòng)點(diǎn)定理等，獲得了一階和二階的動(dòng)力方程組各類具有特定漸近性的解存在的充分或者必要條件.這樣的分類可以縮小定性研究的范圍，也可以使人們對(duì)問題的動(dòng)力學(xué)行為發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)，通過對(duì)參數(shù)的適當(dāng)調(diào)整，以便對(duì)其發(fā)展進(jìn)行干預(yù)、控制。 其次，研究了測(cè)度鏈上一類奇異p-拉普拉斯動(dòng)力方程多點(diǎn)邊值問題解的存在性

3、.類似于微分方程和差分方程，測(cè)度鏈上非線性項(xiàng)可變號(hào)的動(dòng)力方程邊值問題同樣是一個(gè)困難，但又重要的問題.與現(xiàn)有工作相比，我們所考慮的動(dòng)力方程不但非線性項(xiàng)可變號(hào)，而且包含一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，所考慮的邊值條件更具一般性，比如可以包含Dirichlet及Robin邊值條件等.同時(shí)所考慮的奇異性更具體.借助于上下解方法和Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理，建立了測(cè)度鏈上非線性項(xiàng)變號(hào)的奇異p-拉普拉斯多點(diǎn)邊值問題正解的存在性準(zhǔn)則.探討了證明過程中用到的上、下解的構(gòu)造

4、問題，并給出了一定條件下具體的上下解構(gòu)造方法，最后舉例說明了所得結(jié)果的應(yīng)用。 最后，討論了測(cè)度鏈上p-拉普拉斯動(dòng)力方程兩點(diǎn)邊值問題的正對(duì)稱解的存在性.首先利用Krasnosel'skii不動(dòng)點(diǎn)定理研究了此問題分別在六種假設(shè)下至少存在一個(gè)或兩個(gè)正對(duì)稱解的充分條件.其次，分別借助于廣義的Avery-Henderson不動(dòng)點(diǎn)定理和Avery-Peterson不動(dòng)點(diǎn)定理，考慮了此邊值問題有三個(gè)及任意奇數(shù)個(gè)正對(duì)稱解的存在性條件，并比較了兩