共軛類長和有限群的正規(guī)結(jié)構(gòu).pdf

1、長期以來，共軛類的某些數(shù)量性質(zhì)與有限群的結(jié)構(gòu)的關(guān)系是有限群論研究的重要的課題之一。許多群論學(xué)者都參與了這一課題的研究，而且獲得了大量的研究成果，這為有限群理論的發(fā)展起到了強有力的推動作用。在共軛類的眾多的數(shù)量性質(zhì)中，有關(guān)共軛類長與共軛類長的個數(shù)的研究非常活躍。本文則著重圍繞以下兩方面的研究進行的： Ⅰ.某些元素的共軛類長的個數(shù)是定數(shù)與這些元素所在的某一子群的結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系；進而，我們能否減少那些共軛類的個數(shù)? Ⅱ.某些元

2、素的共軛類長具有某種特定的數(shù)量性質(zhì)的有限群。 眾所周知，對于Ⅰ的研究，人們首先研究了所有的元素的共軛類長的個數(shù)是定數(shù)的有限群；后來又研究了p-正則元的共軛類長的個數(shù)是定數(shù)時所對應(yīng)的p-補的結(jié)構(gòu)；近來，人們又開始對研究素數(shù)冪階元的共軛類長的個數(shù)是定數(shù)時的有限群產(chǎn)生了極大的興趣。從這些研究中我們可以發(fā)現(xiàn)，如何有效地減少共軛類的個數(shù)是人們對Ⅰ這一問題研究的關(guān)鍵所在。 如果N是有限群G的一個正規(guī)子群，那么N是群G的一些共軛類的并

3、，顯然，N中所含的G-共軛類的個數(shù)小于等于G中的共軛類的個數(shù)。 所以通過正規(guī)子群中的G-共軛類長的個數(shù)來研究正規(guī)子群的結(jié)構(gòu)是減少共軛類個數(shù)的有效手段之一，也是本博士學(xué)位論文的核心內(nèi)容。具體地來講，第三章主要研究了正規(guī)子群中的G-共軛類長的個數(shù)等于2時的正規(guī)子群的結(jié)構(gòu)，從而推廣了Ito的關(guān)于具有兩個共軛類長的有限群的相應(yīng)結(jié)果；在第四章中，我們進一步減少共軛類的個數(shù)研究了N中的素數(shù)冪階元的G-共軛類具有兩個不同的長時的N的結(jié)構(gòu)；在第

4、五章中，我們研究了N中的G-共軛類具有三個不同的長時的情形。在以上結(jié)果的基礎(chǔ)上，我們分別研究了N的p-正則的G-共軛類長與其相應(yīng)的p-補的結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系。 在本文的第六章中我們嘗試著把一些與Ⅱ相關(guān)的一些已有結(jié)果作了一定的推廣。具體來說，我們對素數(shù)冪階π'-元的共軛類長是π'-數(shù)，π-數(shù)或者丁T-數(shù)的有限群的結(jié)構(gòu)做了一定的描述，其中，T=π U{q，Υ}，q，Υ是不同的素數(shù)且q，Υ￠π。 從以上有關(guān)共軛類長的研究可以看出，