基于徑向積分法的多邊形及多面體有限元方法.pdf

1、隨著數(shù)值模擬中所面臨的問(wèn)題的多樣化，要求有限元方法使用的單元不再局限于三角形、四邊形、四面體以及六面體單元等規(guī)則單元。任意多邊形單元和多面體單元作為新的單元形式，由于其邊數(shù)和面數(shù)的任意性，在劃分復(fù)雜模型網(wǎng)格時(shí)比常規(guī)單元更加靈活方便，能夠更好地模擬材料與結(jié)構(gòu)的熱、力學(xué)性能，并可以能夠更好地處理一些如斷裂，裂紋擴(kuò)展等復(fù)雜問(wèn)題。然而，任意多邊形和多面體單元因其幾何形狀的任意性很難構(gòu)造出多項(xiàng)式形式插值函數(shù)，導(dǎo)致積分計(jì)算單元?jiǎng)偠汝嚭洼d荷向量時(shí)比較

2、困難。本文針對(duì)任意多邊形及多面體單元積分困難的問(wèn)題，做了以下研究:
　　首先，以Wachpress插值函數(shù)作為多邊形單元的形函數(shù)，發(fā)展了二維多邊形單元的徑向積分法用于計(jì)算單元?jiǎng)偠汝嚭洼d荷向量。對(duì)于任意形狀及尺寸的多邊形單元，使用徑向積分法將多邊形單元計(jì)算剛度陣和載荷向量過(guò)程中的面積分，轉(zhuǎn)化成沿著單元邊界的線積分進(jìn)行計(jì)算，避免因多邊形單元積分域不規(guī)則以及積分函數(shù)的非多項(xiàng)式形式帶來(lái)的難題。實(shí)際工程應(yīng)用當(dāng)中，多邊形單元可區(qū)分為常規(guī)單元（

3、三角形單元和四邊形單元）和任意多邊形單元。考慮到本文發(fā)展方法與已有有限元程序的通用性，本工作中對(duì)于常規(guī)單元仍然直接使用高斯積分進(jìn)行計(jì)算。
　　其次，以Floater插值函數(shù)作為多面體單元的形函數(shù)，提出了三維任意形狀多面體單元的徑向積分法用于計(jì)算單元?jiǎng)偠汝嚭洼d荷向量。對(duì)于復(fù)雜的任意多面體單元，計(jì)算過(guò)程中，我們使用兩次徑向積分法進(jìn)行對(duì)單元積分域的轉(zhuǎn)換。第一次，使用徑向積分法將任意多面體單元的體積分轉(zhuǎn)換成沿著單元表面的面積分。類似于多邊

4、形單元的區(qū)分方式，將轉(zhuǎn)換后的積分面區(qū)分成常規(guī)（三角形及四邊形）積分面和其他復(fù)雜類型積分面。對(duì)于后者，我們?cè)俅螌较蚍e分法進(jìn)一步集成到單元積分中，將面積分轉(zhuǎn)換成沿著單元邊上的線積分。經(jīng)過(guò)上述兩次轉(zhuǎn)化之后，對(duì)于帶有多邊形面的三維多面體單元，其單元?jiǎng)偠汝囈约拜d荷向量的計(jì)算，最終轉(zhuǎn)化為多面體棱邊上的線積分之和。
　　最后，使用兩個(gè)多邊形單元算例和三個(gè)多面體單元算例驗(yàn)證本文所提方法的計(jì)算精度和有效性。二維分片試驗(yàn)用于驗(yàn)證本文方法對(duì)任意多邊形

5、單元的計(jì)算精度;對(duì)帶孔平板的分析用于驗(yàn)證徑向積分法對(duì)四邊形單元的計(jì)算精度;三維懸臂梁用于驗(yàn)證積分點(diǎn)數(shù)對(duì)計(jì)算精度的影響;三維分片試驗(yàn)用于驗(yàn)證本文方法對(duì)任意多面體單元的計(jì)算精度;削角立方八面體結(jié)構(gòu)幾何形狀復(fù)雜，用于驗(yàn)證本文方法對(duì)于復(fù)雜多面體單元的計(jì)算精度。數(shù)值算例結(jié)果表明，在積分點(diǎn)數(shù)相同的情況下本文所提方法計(jì)算精度高于常用的三角化方法。需要指出的是，相比文獻(xiàn)中給出的其他二維多邊形單元及三維多面體單元的積分方法，本文發(fā)展的積分法在積分過(guò)程中不