一些非線(xiàn)性發(fā)展方程的漸近行為.pdf

1、本論文分兩大部分，第一部分研究一些耗散系統(tǒng)當(dāng)時(shí)間t→∞時(shí)的解的漸近行為，包括一類(lèi)時(shí)滯差分系統(tǒng)的周期解的穩(wěn)定性和吸引性．第二部分，研究一些非局部反應(yīng)擴(kuò)散方程當(dāng)時(shí)問(wèn)t→T<'*>(爆破時(shí)刻)時(shí)的解的爆破行為．全文分為六章： 第一章給出一些基本概念和一些后而要用到的結(jié)論，特別介紹了本文將要研究的模型和得到的一些主要結(jié)果． 第二章，考慮如下的三次復(fù)Swift-Hohenberg方程(CSHE)： u<,t>=δu-β△u

2、-γ△<'2>U-μ|U|<'2>U (0.0.1)主要目的在于處理(0.0.1)在Banach空間X<'α>“內(nèi)的解的漸近性質(zhì)，這里的基本空間是X=L<'p>,1局部解，然后證明它能唯一地延拓到整個(gè)正半軸[0，+∞]，得到解的整體存在性的同時(shí)得到整體吸引子的存在性，最后，證明了(0.0.1)在X<'α>空問(wèn)指數(shù)吸引子的存在性，同時(shí)得到整體吸引子的分形維數(shù)的上界估計(jì)．當(dāng)空間

3、為Hilbert空間時(shí)，我們常通過(guò)擠壓性質(zhì)得到指數(shù)吸引子的存在性．在這里，由于研究的框架足在Banach空間，因此不能利用[39]中所謂的標(biāo)準(zhǔn)方法．本章運(yùn)用了Efendiev，Miranville，和Zelik在[40]中的一個(gè)結(jié)果． 第三章，考慮一個(gè)所謂的完全雙曲相場(chǎng)系統(tǒng)： ?<,t>v+λ(χ)-∫<'∞><,0>k(σ)△v(t-σ)dσ=f,？<,t>χ+∫<'∞><,0>h(ω)w(t-σ)dσ=0， (0.

4、0.2)w=一△χ+β(χ)-λ'(χ)v． 首先通過(guò)引進(jìn)兩個(gè)新的變暈，它們分別與v和χ的歷史有關(guān)，把原來(lái)的初邊值問(wèn)題放到歷史空間中來(lái)討論．在Grasselli和Pata合著的文章[57]中，作者證明了重組的問(wèn)題在一個(gè)適當(dāng)?shù)臒o(wú)限維相空問(wèn)生成一個(gè)耗散的動(dòng)力系統(tǒng)，并且證明了整體吸引子的存在性．本章的目的還在于證明指數(shù)吸引子的存在性．由于記憶項(xiàng)的出現(xiàn)，使得該系統(tǒng)的耗散性非常弱，因此這個(gè)證明并不簡(jiǎn)單．又由于算子“-？”(定義見(jiàn)第三章)

5、的點(diǎn)譜為空集，所以基于擠壓性質(zhì)的所謂標(biāo)準(zhǔn)的應(yīng)用于Hilbert空間中的方法在這里仍不能應(yīng)用，仍然用和第二章一樣的方法．另一方面，由于緊嵌入不成立，利用記憶核的衰減性來(lái)克服緊性，這里所謂的“尾部函數(shù)”的估計(jì)是至關(guān)重要的． 第四章研究了對(duì)應(yīng)于如下一類(lèi)含時(shí)滯的反應(yīng)一擴(kuò)散一對(duì)流方程組的差分系統(tǒng)的周期解的漸近行為： 主要目的在于研究對(duì)應(yīng)于(0.0.3)的時(shí)間周期解的穩(wěn)定性和吸引性．當(dāng)反應(yīng)項(xiàng)和邊界條件僅為局部Lipschitz連續(xù)時(shí)

6、，應(yīng)用Brower不動(dòng)點(diǎn)定理，證明了時(shí)間周期解的存在性．當(dāng)反應(yīng)項(xiàng)和邊界條件為擬單調(diào)函數(shù)時(shí)，應(yīng)用單調(diào)迭代得到周期解或周期擬解的穩(wěn)定性和吸引性．最后，通過(guò)把上下解方法和Jacobi方法或Gauss-Seidel方法結(jié)合起來(lái)，我們得到了求差分方程組的數(shù)值解的組合單調(diào)迭代法，并且證明了差分方程組的解收斂于對(duì)應(yīng)的微分方程組的解． 第五章，研究如下非局部的退化拋物型方程組非負(fù)解的整體存在性和非存在性. 得到臨界爆破指標(biāo)．證明了如果p

7、<,c>=(p<,1>+p<,2>)(q<,1>+q<,2>)-mn<0，則每個(gè)非負(fù)解整體存在，然而，如果p<,c>>0，整體解和爆破解都有可能存在，與所取的初值有關(guān)，當(dāng)p<,c>=0，如果區(qū)域允分小，則非負(fù)解整體存在，如果區(qū)域允分大，它包含了一個(gè)充分大的球，則沒(méi)有整體解存在．本章的最后，我們證明了當(dāng)m=n=1，p<,1>=q<,1>=0，P<,2>q<,2>＞1時(shí)，解整體爆破，并且在區(qū)域的緊子集上，得劍一致的爆破率． 第六章，

8、考慮如下非局部退化的拋物型方程的正解u<，t>=f(u>(△u+u(x)∫<,Ω>udx)． (0.0.5)設(shè)ψ(x)為橢圓問(wèn)題一△ψ(X)=l具有零Dirichlet初值條件的唯一解，μ=∫<,Ω>ψ(x)dx．我們得到：如果μ>l且∫<'∞><,δ>1/(sf(s))ds<∞，則(0.0.5)的解爆破，進(jìn)一步，在一定條件下，解整體爆破；如果(i)μ≤1且∫<'∞><,0>1/f(s))ds=∞或者(ii)?！?'∞><,δ>1/(s