倒向隨機微分方程的生成元g與g-期望的相關(guān)性質(zhì).pdf

1、在1990年，Pardoux和彭實戈教授提出了一類形如：現(xiàn)在，BSDE已經(jīng)被公認為是研究金融數(shù)學(xué)的一個很有用的工具。它同時也廣泛應(yīng)用在解決隨機控制、隨機微分對策和擬線性偏微分方程解的概率公式表示等問題上。并由此創(chuàng)造性地提出了一類可以定義條件期望的非線性數(shù)學(xué)期望--g-期望后來這一成果引起廣大學(xué)者的重視，并被應(yīng)用于金融、經(jīng)濟和數(shù)學(xué)其他分支。 作為一種非線性數(shù)學(xué)期望，g-期望具有很多不同于經(jīng)典數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)。我們在第一章不加證明地列

2、出它們，包括：保常性、單調(diào)性等等。第一章除了介紹倒向隨機微分方程以及比較定理等結(jié)論之外，還介紹了風(fēng)險測度的簡單性質(zhì)。 第二章主要的結(jié)果之一--g-期望保常性的充要條件。我們知道結(jié)果很自然地我們想探究，是否由εO，T［α］=α均可以得到g(y，0，t)=O呢?答案是否定的，例題2.4以及定理2.5就得出了相應(yīng)的結(jié)論。定理2.5我們還給出了基于數(shù)分知識和基于倒向隨機微分方程比較定理的兩種證明方法。這樣我們就得到了g-期望與條件g-期

3、望保常性的關(guān)系，進一步得到風(fēng)險測度與條件風(fēng)險測度保常性之間的關(guān)系。 (上述結(jié)果已于2008年2月被《山東大學(xué)學(xué)報》(理學(xué)版)發(fā)表。)最后，還通過定理證明了g-期望作為一個非線性算子，不僅僅依賴于g，還依賴于T。 第三章考查的是倒向隨機微分方程的g與價值過程。首先以一個簡單例子的形式給出倒向隨機微分方程為模型的投資策略過程。然后分別給出兩種情況BSDE特例的解法：第一種為g=-[atyt+btzt]線性時，第二種為g(yt,zt,

4、t)=at|zt|簡單非線性的情況.其中第一個例子，還用到Girsanov，變換和對偶方程的兩種方法，但結(jié)果是相同的。 作為結(jié)尾的第四章對前人的工作做了一個總結(jié)，列出了g、g-期望及風(fēng)險測度等之間的關(guān)系。并且對g-期望的逆比較定理做了推廣，將兩項的結(jié)論推廣到有限項，利用停時進行了證明。通過一個經(jīng)典的動態(tài)凸風(fēng)險測度的例子，以及風(fēng)險測度的概率表示定理，具體地闡述了g-期望與風(fēng)險測度的關(guān)系，從而進一步強化了g所在的函數(shù)空間與非線性數(shù)學(xué)