變分不等式的間隙函數和解的弱sharp極小性質.pdf

1、變分不等式問題是一個經典的數學問題.許多物理學和工程學中的問題,它們的模型都是一些偏微分方程加上適當的邊值條件和初始值條件,并且通過一些變分不等式來描述的.由于變分不等式問題與補問題、最優(yōu)化問題、平衡問題、不動點理論等數學分支的緊密聯系,以及它在科學與經濟方面的廣泛應用,這類問題越來越顯示其重要性.
　　 關于變分不等式的理論分析和數值結果一直是研究的熱點.近年來,許多學者關注利用間隙函數將變分不等式等價的化為約束優(yōu)化和無約束優(yōu)

2、化的問題.所謂間隙函數是指定義在全空間或者其子集上的實值函數,它在給定集合上的全局最小點集就是變分不等式問題的解集.在構建解決變分不等式問題的算法和分析這些算法的收斂性質時,間隙函數起到了非常重要的作用.因此間隙函數的研究已經成為變分不等式問題的重要研究方向之一.
　　 本文針對兩類廣義變分不等式分別定義了廣義正則間隙函數和D-間隙函數,研究了它們的性質,并且證明這些間隙函數的零解集合就是廣義變分不等式的解集.通過分別使用廣義正

3、則間隙函數或D-間隙函數,在所研究變分不等式問題的目標函數關于解是g-強單調,而不再需要連續(xù)可微甚至局部Lipschitz的條件下,得到了全局誤差界.由于廣義變分不等式包括標準變分不等式,擬變分不等式和補問題等特殊情形,我們得到的結果可以看成關于這些問題的已知結果的推廣.
　　 變分不等式的各類間隙函數中,有一類稱作對偶間隙函數.它是由Marcotte和 Zhu提出的,他們指出對偶間隙函數有全局誤差界等價于變分不等式的解集具有弱

4、sharp極小性質.優(yōu)化問題解集的弱sharp極小性質在靈敏度分析和算法收斂性分析等方面有著重要的應用.
　　 在自反嚴格凸光滑的Banach空間中,本文首先引入了變分不等式問題解集是弱sharp極小的定義,指出變分不等式問題解集的弱sharp極小性質成立的充要條件是其對偶間隙函數有全局誤差界.其次本文證明了變分不等式問題的最小原則充分性質成立是解集弱sharp極小性質成立的必要條件.如果補充一定的條件,那么它就是充要的.為了進