求解約束Hamilton系統(tǒng)的指數(shù)擬合方法.pdf

1、隨著科學(xué)的發(fā)展和工程技術(shù)的進(jìn)步,單純的微分方程不足以對(duì)某些復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行正確的描述,這就促使人們?nèi)パ芯坑晌⒎址匠探M和代數(shù)方程組混合而成的系統(tǒng),即微分-代數(shù)方程組(簡記為DAEs)。另一方面很多應(yīng)用研究中迫切要求數(shù)值方法能夠長期保持問題精確解內(nèi)在的物理性質(zhì)或幾何性質(zhì),這就導(dǎo)致了保結(jié)構(gòu)算法的研究。
　　 一切真實(shí)的、耗散可以忽略不計(jì)的物理過程都可以表示成Hamilton系統(tǒng)。理論與實(shí)踐證明,辛方法(symplectic methods

2、)在保持Hamilton系統(tǒng)解的定性性質(zhì)方面要比非辛方法優(yōu)越得多,這種優(yōu)勢在長時(shí)間積分中尤其明顯。約束Hamilton系統(tǒng)(constrained Hamiltonian systems)是一類重要的微分-代數(shù)方程組,其中微分方程的解的軌跡始終保持在由約束方程定義的流形上。對(duì)于這一類約束問題的數(shù)值求解,前人已經(jīng)作了一些較為系統(tǒng)的工作,如Ryckaert,Ciccotti和Berendsen給出了SHAKE方法,Jay考慮辛分塊Runge

3、-Kutta方法(PRK)。另一方面,近年來出現(xiàn)了一種稱為指數(shù)擬合的方法,這種方法能精確積分某些基本的振蕩函數(shù),應(yīng)用于振蕩微分方程時(shí)數(shù)值解具有相當(dāng)好的相性質(zhì),計(jì)算效率高于傳統(tǒng)方法。
　　 本文主要研究具有振蕩解的約束Hamilton系統(tǒng)的指數(shù)擬合方法。
　　 第一章是預(yù)備知識(shí),概述了微分方程的基本概念,包括常微分方程(ODEs)初值問題解的存在唯一性,數(shù)值方法的相容性、收斂性、穩(wěn)定性,介紹了求解Hamilton系統(tǒng)的辛R

4、unge—Kutta方法以及辛Partitioned Runge-Kutta方法,以及求解振動(dòng)問題的保結(jié)構(gòu)方法中最常用的技術(shù)之一——指數(shù)擬合方法。
　　 第二章討論求解微分-代數(shù)方程組的RK方法。在簡要地介紹有關(guān)微分-代數(shù)方程組的基本概念之后,分別闡述了求解指數(shù)-1,指數(shù)-2和指數(shù)-3的微分-代數(shù)方程組的RK方法,以及在隱式方法實(shí)現(xiàn)過程中需要使用的簡化Newton法.對(duì)指數(shù)-1微分-代數(shù)方程組及其數(shù)值解系統(tǒng)地建立了雙色有根樹(b

5、i-colored rooted tree)理論與相關(guān)的B-級(jí)數(shù)理論,并導(dǎo)出了求解指數(shù)-1 DAEs的RK方法的階條件。
　　 第三章討論求解約束Hamilton系統(tǒng)的辛方法。這章介紹Hamilton系統(tǒng)精確流的一些性質(zhì)以及滿足這些性質(zhì)的數(shù)值方法,著重分析了LabattoⅢA-ⅢB相延遲階。由于是辛的,這個(gè)方法是零耗散的。
　　 第四章主要研究求解約束Hamilton系統(tǒng)的指數(shù)擬合方法.利用辛條件以及指數(shù)擬合條件,我們構(gòu)