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文檔簡介
1、微分方程解的研究一直以來都是人們最為關(guān)注的研究領(lǐng)域,大部分微分方程都是從實際問題中抽象建模而成的,所以我們在研究微分方程問題的時候,討論其解的存在唯一性有著基礎(chǔ)性的意義。其中,關(guān)于非線性微分方程有無解,其解是否存在唯一,解的穩(wěn)定性如何,一直是個難題。微分方程邊值問題的弱解。就是其相應(yīng)泛函的臨界點。在線性方程情形,其弱解就是使相應(yīng)泛函取極小值,而在非線性方程情形,其相應(yīng)泛函可能既沒有上界,也沒有下界。范猛,王克[29]清晰地介紹Yoshi
2、zawa,Massera利用推廣的Brouwer型不動點理論和Liapunov法等理論把微分方程周期解的存在性和解的有界性建立了聯(lián)系。 對于表征硬彈簧振動和牛頓運動的Duffing方程的周期問題,因涉及的領(lǐng)域廣泛,眾多學(xué)者對其進行了深入研究,得到了一系列重要而深刻的結(jié)果[3]-[11]。隨著現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論的不斷發(fā)展,人們提出了許多研究微分方程周期解存在性的方法和工具。如抽象代數(shù)引理和傅里葉級數(shù),非線性泛函分析,臨界點理論,迭合度理
3、論,最優(yōu)控制論,大范圍反函數(shù)理論等。 1973年,Ambeosetti,Rabionowitz和Ekeland提出著名的山路引理,山路引理給出了求證其對應(yīng)泛函的臨界點的方法,從而成為研究非線性微分方程邊值問題的重要引理。本文主要運用山路引理的方法,分別嘗試證明Duffing方程2π-周期解的存在性和非共振橢圓型方程解的存在性,使得常微分方程中的證明方法和理論得以向橢圓型方程領(lǐng)域擴展。 本文的主要研究成果是: 1.
4、利用變分方法將一類無阻尼Duffing方程的周期邊值問題轉(zhuǎn)化為與之等價的非線性泛函的臨界點問題,并利用山路引理證明這類Duffing方程2π周期解的存在性。 設(shè)條件(I)-(IV)滿足:(I)g(u)∈C(R;R)并存在1≤a
5、 (III)下面兩個極限式成立,lim/u→0g(u,t)/u=0,對(u,t)∈R×[0,2π]一致;lim/u→+∞/g(u,t)=+∞,對(u,t)∈R×[0,2π]一致。(IV)e(t)有界。則Duffing方程u(t)+g(u)=e(t)存在2π-周期解。 2.證明一類具有Dirichlet邊界條件的非共振二階橢圓型方程在(L2(Ω))n空間上弱解的存在性問題。本文考慮Laplace算子的特征值問題,首先在每個有限維
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