具有微分關(guān)系及邊界條件的小波.pdf

1、小波Galerkin方法是微分方程數(shù)值解理論中的重要方法.由于許多微分方程是定義在有界區(qū)域上的邊值問(wèn)題，因而自然需要區(qū)域(區(qū)間)上具有邊界條件的小波.眾所周知，Navier-Stokes方程是描述流體運(yùn)動(dòng)的重要數(shù)學(xué)模型.Deriaz等人利用散度自由和旋度自由小波研究了這一模型，其小波構(gòu)造嚴(yán)格地依賴于B-樣條小波之間的微分關(guān)系.本文研究直線(區(qū)間)上具有微分關(guān)系的小波以及區(qū)間[0，1]上具有齊次邊界條件和消失矩的雙正交小波.
　　

2、 在第二章，我們首先證明了兩個(gè)負(fù)面結(jié)果：一是不存在具有微分關(guān)系的正交小波.二是尺度函數(shù)的插值性與簡(jiǎn)單微分關(guān)系不可兼容；其次，我們給出了具有簡(jiǎn)單微分關(guān)系的尺度函數(shù)的一般表達(dá)式.然后從原始尺度函數(shù)、小波及其對(duì)偶出發(fā)，構(gòu)造了與它們具有簡(jiǎn)單微分關(guān)系的尺度函數(shù)、小波及其對(duì)偶.討論了具有最短支集的插值小波的性質(zhì)，并說(shuō)明它和C. Micchelli工作之間的關(guān)系；最后是區(qū)間上具有微分關(guān)系的一對(duì)緊標(biāo)架小波的構(gòu)造，并用具體例子加以說(shuō)明.
　　 第

3、三章研究同時(shí)具有齊次邊界條件和消失矩條件的雙正交小波：通過(guò)簡(jiǎn)單改造Dahmen等人的工作，得到了零邊值小波，但它沒(méi)有消失矩；為彌補(bǔ)這一缺陷，我們從一個(gè)簡(jiǎn)單引理出發(fā)，構(gòu)造了對(duì)偶尺度函數(shù).然后利用Dahmen、Kunoth和Urban的矩陣分解技巧給出了滿足齊次邊界條件及消失矩的雙正交小波，最后是兩個(gè)具體的例子.數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，這一小波在數(shù)值求解某些具有齊次邊界條件的微分方程時(shí)能取得好的效果.那是因?yàn)樾〔ǖ凝R次邊界條件使得求解過(guò)程在邊界處不產(chǎn)

4、生誤差，小波的消失矩性質(zhì)提供了高效的計(jì)算速度.
　　 注意到前一章得到的小波結(jié)構(gòu)一般比較復(fù)雜(盡管兩個(gè)例子是簡(jiǎn)單的)，也由于小波Galerkin方法求解微分方程時(shí)并不需要對(duì)偶小波，第四章只研究原始空間中的小波：首先利用Cohen、Daubechies和Feauveau的小波只有一個(gè)半整節(jié)點(diǎn)的性質(zhì)，定義了左、右邊界小波，并證明了直和分解定理；其次討論了穩(wěn)定性，盡管理論證明并不完善，但數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明對(duì)求解某些微分方程而言，它和第三章中