在算術(shù)級(jí)數(shù)中具有算術(shù)函數(shù)系數(shù)的素變量指數(shù)和.pdf

1、指數(shù)和是數(shù)論研究的核心課題，有重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值.設(shè)集合M代表所有函數(shù)值為復(fù)數(shù)的積性函數(shù)的集合，M1(c)M且對(duì)(V)f∈M1，有性質(zhì)|f(n)|≤1，n∈N.令e（α）=e2πiα，其中α代表無(wú)理數(shù).令M'是算術(shù)函數(shù)的集合，其中函數(shù)符合一定的條件，例如M'=M1.對(duì)于f∈M'或f為某一特殊的算術(shù)函數(shù)，本文主要研究形如1/E(x)∑n≤xn∈Ef（n）e(nα)
　　指數(shù)和的漸進(jìn)行為，其中E是一個(gè)整數(shù)集合并且E(x)=∑n≤

2、xn∈E1.
　　1954年，Vinogradov[25]的一個(gè)非常著名的結(jié)果是如果Q（n）=αknk+αk-1nk-1+…+α1n是一個(gè)多項(xiàng)式，αk，…，α1都是實(shí)數(shù)且最少有一個(gè)是無(wú)理數(shù).那么
　　limx→∝1/π(x)∑e(Q(p))=0.
　　1974年，Daboussi和Delange[6]證明了對(duì)于任意給定的無(wú)理數(shù)α，f∈M1下式成立limx→∞ supf∈M11/x∑n≤xf(n)e(nα)=0.x

3、>　　后來(lái)，Delange擴(kuò)大了此結(jié)果的函數(shù)類，對(duì)于f∈L2，也就是對(duì)任意的f∈M，滿足條件1/x∑n≤x|f(n)|2=O(1)，結(jié)果是成立的.Indlekofer又將f擴(kuò)展到更大的函數(shù)類里去，對(duì)f∈L*，即對(duì)任意的f∈M，滿足limy→0supx1/x∑|f(n)|≥yn≤x|f(n)|=0，結(jié)果仍然成立.
　　1986年，I.Kátai[9]證明了suo/f∈M1|1/x∑n≤xf(n)e(Q(n))|→0,x→∞.

4、　　2012年，J.M.De Koninck和I.Kátai[17]定義了一種新的算術(shù)函數(shù)l(n):=g1（F1（n））…gs(Fs(n))，其中F1(n)，…，F(xiàn)s（n）是整系數(shù)多項(xiàng)式，并且只有當(dāng)x＞0的時(shí)候，F(xiàn)i(x)＞0，i=1，2，...，s.gi(i=1，2，…，s)都是復(fù)值可乘函數(shù)，并且滿足特殊條件.令Sf(x):=∑n≤xf(n)l(n)e(Q(n))，得到了兩個(gè)新的
　　結(jié)果:suof∈M1|Sf(x)|/x→0,

5、x→∞,|1/li(x)∑p≤xl(p)e(Q(p))|→0,x∞.
　　本文的主要工作是將上述素變量指數(shù)和推廣到算術(shù)級(jí)數(shù)中素變量指數(shù)和中去，即證明
　　定理0.1對(duì)于固定的k，l，滿足（k，l）=1，當(dāng)x→∞時(shí)，有下式成立11/li(x)|∑p≤xp≡l(mod k)l(p)e(Q(p))|→0.
　　其中l(wèi)（n）:=g1(F1(n))…gs（Fs（n）），F(xiàn)1(x），…，F(xiàn)s(x）∈Z[x]，并且只有當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)

6、1(x），…，F(xiàn)s(x）＞0.對(duì)于i=1，2，…，s，gi都是復(fù)值的可乘函數(shù)，并且滿足特殊條件（在第三章中介紹）.
　　本文主要使用Turán-Kubilius不等式[24]的經(jīng)典方法來(lái)證明我們的結(jié)論.定理的證明用到了G.Tenenbaum[24]第三章的內(nèi)容和J.M.De Koninck與I.Kátai[17]的相關(guān)引理以及初等數(shù)論和解析數(shù)論的知識(shí).本文共分三個(gè)章節(jié)，第一章是導(dǎo)言部分，主要介紹問(wèn)題的研究背景和目前的研究成果;第二