算術(shù)級數(shù)中Maass尖形式在指數(shù)和中的估計.pdf

1、自守形式的傅里葉系數(shù)是一類非常重要的算術(shù)函數(shù)，其生成的厶函數(shù)有很多深刻的性質(zhì)。例如谷山豐和志村五郎提出的谷山志村猜想，建立了自守形式中的模形式與橢圓曲線之間的聯(lián)系，后來懷爾斯證明了此猜想，進(jìn)而證明了費馬大定理。因此，對自守形式傅里葉系數(shù)的研究一直是數(shù)論中的熱門問題。在解析數(shù)論中，研究算術(shù)函數(shù)在算術(shù)級數(shù)中的漸進(jìn)分布也是一個非常有趣并且有深刻意義的問題。譬如，如果我們把素數(shù)的特征函數(shù)看為一類算術(shù)函數(shù)，研究算術(shù)級數(shù)中的此算術(shù)函數(shù)分布對于研究哥

2、德巴赫猜想和孿生素數(shù)猜想都有很重要的意義。最近，張益唐改進(jìn)了素數(shù)在算術(shù)級數(shù)中平均分布的一個結(jié)果，進(jìn)而在孿生素數(shù)問題上做出了突破性進(jìn)展。
　　本文我們主要研究的是算術(shù)級數(shù)中的Maass尖形式的傅里葉系數(shù)扭乘上指數(shù)函數(shù)的分布問題。Maass尖形式作為非全純的自守形式，其傅里葉系數(shù)的性質(zhì)與全純的模形式有很多不同。著名的Ramanujan-Petersson猜想說，每一個尖形式的第n個傅里葉系數(shù)的上界不會超過nε對任意的∈＞0都成立。在模

3、形式的情形下，此猜想由Deligne在1974年的論文[7]中證明。但是在Maass尖形式的情形下，這依然是一個開放性的問題，現(xiàn)在的最好結(jié)果是Kim和Sarnak的論文[22]中得到的上界n7/64+ε。盡管Ramanujan-Petersson猜想在此Maass尖形式下依然沒有被證明，但是我們可以看到此猜想在平均意義下是成立的。令λg(n)是SL(2，Z)上面的Maass尖形式g的第n個傅里葉系數(shù)，我們有如下的估計[12]:∑n≤Xλ

4、g(n)(＜)X1/3+ε.從上式可以看出平均意義下我們甚至可以得到更好的上界估計，這說明Maass尖形式的傅里葉系數(shù)有很強(qiáng)的的震蕩性，通過研究傅里葉系數(shù)震蕩性可以對其性質(zhì)有更深刻的理解。
　　為了更好的研究傅里葉系數(shù)的震蕩性，我們往往考慮其扭乘上指數(shù)函數(shù)的均值估計。也就是說，我們考慮如下的指數(shù)和:∑n～Xλg(n)e（αnβ），其中0≠α∈R，0≤β≤1，e（x)=e2πix，n～X表示X＜n≤2X。當(dāng)上式中α與β的取值不同時會

5、有不同的估計，可參見[33][34][36]。
　　在本文中，我們把此問題推廣到算術(shù)級數(shù)情形，期望可以看到算術(shù)級數(shù)中Maass尖形式的傅里葉系數(shù)與指數(shù)函數(shù)的共振現(xiàn)象。下面令λg(n)是SL(2，Z)上面Maass尖形式g的第n個傅里葉系數(shù)。我們將研究如下的指數(shù)和估計S(X)=∑n～Xλg(n)e(αnβ),(0.1)n≡l mod q其中0≠α∈R，0≤β≤1，e（x）=e2πix。
　　首先，當(dāng)|α|αβ的值較小時，在第三

6、章中我們可以得到S（X)的一個上界估計:
　　定理0.1令λg(n)為正規(guī)化的SL(2，Z）上Hecke-Maass尖形式的第n個Fourier系數(shù)，其Laplace算子特征值為1/4+r2。令X＞1，0＜β＜1，0≠α∈R。令l，q∈N，l≤q≤X1/2。如果|α|βXβ＜√X/2q，那么我們有∑n～Xn≡lmod qλg(n)e（αnβ）(＜)q7/22X1027/2827(qX)ε.(0.2)
　　注意到在q=1時的特

7、殊情況下，我們的問題和Sun-Wu的問題是一樣的。此時，我們應(yīng)用[25]中關(guān)于傅里葉系數(shù)八次均值的結(jié)果來代替單個傅里葉系數(shù)的上界，可以看到當(dāng)q=1時，定理0.1余項中X的階為X1027/2827，從而改進(jìn)了[36]結(jié)果中的X71/192。
　　當(dāng)|α|βXβ的值較大時，會有不同的情況產(chǎn)生。在第四章中，我們將證明下面四個定理。首先，當(dāng)β≠1/2時，我們依然可以得到S(X）的一個上界:
　　定理0.2在上述條件下，如果|α|βX

8、β≥X/2q，β≠1/2那么我們有∑n～Xn≡lmod qλg(n)e(αnβ)＜q1/2+ε|2β-1|-1/2(|α|βXβ)1+ε.(0.3)
　　其次，當(dāng)β=1/2時，我們對|α|的取值進(jìn)行討論。可以看到，當(dāng)|α|的取值較大或者較小時，我們會得到S(X）的上界估計。當(dāng)|α|的取值合適的時候，我們會得到S（X)的一個漸進(jìn)公式:
　　定理0.3在定理0.1的條件下下，如果|α|βXβ≥√X/2q且β=1/2，當(dāng)|α|＜1

9、/q或者|α|＞√s/q時，我們有∑n～X n≡lmod qλg(n）e（αnβ）＜min{（q|α|）253/2056X1/16，(q|α|)7/32}q1/2|α|1/2X1/4（qX|α|）ε+q7/32|α|23/32X1/4(qX|α|)ε+q7/22X1027/2827（qX)ε，(0.4)當(dāng)1/q≤|α|≤√x/q時，我們有∑n～X n≡l mod qλg(n)e(αnβ)=1/q∑c|qε(α，nc)c-1/2λg(nc

10、)S(-l，-nc;c)nc-1/4X3/4+O（（q|α|）23/32X1/4(qX|α|)ε+q7/22X1027/2827（qX)ε），(0.5)其中ε(α, nc)=δc∈αa1/2∫21u-1/4e(sgn(α)（|α|-2√nc/c）√Xu）du，上式中δc=1或者0取決于是否存在一個正整數(shù)nc，其中c|q且滿足|c|α|-2√nc|≤X-1/2.
　　我們特別指出，當(dāng)|α|=2√k/q時，可以得到一個類似于[38]結(jié)

11、果中的通項公式，此時可以看到共振現(xiàn)象的發(fā)生。
　　定理0.4在定理0.1的條件下，如果存在某個k∈N且k＜X/4，使得|α|=2√k/q，那么(1.4)等于∑n～Xn≡l mod qλg(n)e（±2√kn/q）=2/3(23/4-1）（1(干)i）λg(k)S(-l,k;q)/q3/2k1/4X3/4+O（k23/64X1/4（qXk）ε）+q7/22X1027/2827(qX)ε).
　　注意到這里關(guān)于q和k的階與[38

12、]結(jié)果中的階是一致的。
　　在證明定理0.1-定理0.4的過程中，我們主要是采用[33]和[36]的思想。在證明過程中用的主要工具包括指數(shù)和的估計，Voronoi公式等。由于加法特征的正交性，我們在應(yīng)用Voronoi求和公式后會得到Kloosterman和，此時應(yīng)用Weil關(guān)于Kloosterman和的上界估計去得到q方面的節(jié)余，從而得到類似于(1.4)中的主項。在證明過程中，由于我們處理的情況更為一般，所以在參數(shù)的選擇上我們會做

13、一些改進(jìn)，使得改進(jìn)后的參數(shù)選取適更為適合。另外，當(dāng)β=1/2，且α與2√k，k∈Z+相差不大時，我們可以看到共振現(xiàn)象的發(fā)生，這同樣也可以看做是[33]結(jié)果的推廣。
　　最后，考慮當(dāng)Ramanujan猜想成立的情況下，或者說對于全純的模形式，我們可以得到如下結(jié)果
　　定理0.5假設(shè)Ramanujan猜想2.1成立，或者說假設(shè)g為一全純的尖形式，λg(n)是g的第n個傅里葉系數(shù)，其他條件不變，那么我們有
　　(i)如果|α

14、|βXβ＜√X/2q，式(1.5)變?yōu)椤苙～x n≡l mod qλg(n)e（αnβ）(＜)q1/3X1/3(qX)ε.(0.7)
　　(ii)如果|α|βXβ≥√X/2q且β=1/2，當(dāng)|α|＜1/q或者|α|＞√x/q時，我們有∑n～X n≡l mod qλg(n）e（αnβ）(＜＜)q1/2|α|1/2X1/4（qX|α|）ε+q1/3X1/3(qX)ε(0.8)當(dāng)1/q≤|α|≤√x/q時，我們有∑n～X n≡lmod

15、qλg（n）e(αnβ)=1/q∑c|qε(α，nc)c-1/2λg(nc)S(-l，-nc;c)nc-1/4X3/4+O(q1/2|α|1/2X1/4(qX|α|)ε+q1/3X1/3（qX）ε.(0.9)
　　(iii)如果|α|=2√k/q，其中k∈N且k＜X/4，那么式(1.9)變?yōu)椤苙～X n≡lmod qλg(n)e(+2√kn/q)=2/3(23/4-1）（1（干）i）λg(k)S(-l,k;q)/q3/2k1/4X