參數(shù)具有對稱性的等變分歧問題的開折與分類.pdf

1、1979年，M.Golubitsky和D.G.Schaeffer[32,33]首先引入了應(yīng)用奇點理論方法和群論方法研究分歧問題的思想，他們對分歧問題研究所使用的主要工具來自光滑映射芽的奇點理論中的相關(guān)技巧。它主要包括三個方面：(1)分歧問題的開折，研究分歧問題在一般擾動下的變化狀態(tài)。如果一個分歧問題存在通用開折，那么對做擾動產(chǎn)生的每一個開折都可以由它的通用開折導(dǎo)出，這說明研究通用開折是很有意義的。(2)分歧問題的識別。為探討一

2、個分歧問題在什么條件下等價于給定的標(biāo)準(zhǔn)形式，必須尋找這一標(biāo)準(zhǔn)形在等價群D作用下的軌道特征。借助于奇點理論中的一個基本概念(有限決定性)，這一問題常?？梢院喕癁橛邢蘧S情形來處理。D模去高階項將以Lie群方式作用，其軌道是半代數(shù)集，因而可以將軌道描述成由這樣的一些映射芽組成，它們的Taylor系數(shù)滿足有限多個多項式約束，并以等式和不等式形式表示，這一描述正是識別問題的解。(3)分歧問題的分類，這是一個非常有意義但又是棘手的問題

3、。到目前為止，只對幾類分歧問題在低余維條件下的分類問題予以解決。近二十年來，運用奇點理論研究分歧問題主要圍繞上述三個方面展開討論。例如，在開折理論研究中，對于含一個分歧參數(shù)的等變分歧問題，當(dāng)它的狀態(tài)空間與靶空間相同時，文獻(xiàn)[31]給出了通用開折定理。其后許多學(xué)者對此繼續(xù)研究，建立了各種形式的通用開折理論(見[19,2l,24,26,30,40,46,47,49,50,54,56,67,73,74,75,76])。在分歧問題的識

4、別研究中，文獻(xiàn)[25]引入冪單代數(shù)群和冪零Lie代數(shù)作為研究工具，建立了多參數(shù)分歧問題的D(Г)-等價理論，文獻(xiàn)[59]研究含一個分歧參數(shù)的等變分歧問題，建立了U(Г)-等價理論，文獻(xiàn)[53]則討論了多參數(shù)等變分歧問題的U(Г)-等價理論；在分歧問題分類研究方面，Keyfitz[44]得到了余維數(shù)不超過7的不帶對稱性的單狀態(tài)變量的分歧問題的分類。Golubitsky和Schaeffe[34]得到了余維數(shù)不超過3的單狀態(tài)變量以

5、Z2為對稱群的單參數(shù)等變分歧問題的分類。Golubitsky和Roberts[35]得到了單參數(shù)兩狀態(tài)變量關(guān)于D4對稱的分歧問題在拓?fù)溆嗑S數(shù)不超過2的條件下的分類。Melbourne[58]討論了三狀態(tài)變量關(guān)于八面體群對稱的單參數(shù)等變分歧問題在拓?fù)溆嗑S數(shù)不超過1的條件下的分類。Manoel與Stewart[56]討論了具有隱藏對稱性的分歧問題的分類。Peter[62]研究了兩參數(shù)單狀態(tài)變量分歧問題在余維不超過1的條件下的分類。

6、Furter，Sitta和Stewart[24]研究了分歧參數(shù)與狀態(tài)變量具有相同的對稱性的多參數(shù)等變分歧問題，并給出了參數(shù)與狀態(tài)變量均關(guān)于D4對稱的兩參數(shù)等變分歧問題在余維數(shù)不超過1的條件下的分類。值得指出的是對分歧問題研究常常不考慮分歧參數(shù)的對稱性，即使考慮也僅限于參數(shù)空間與狀態(tài)空間有相同的對稱性。本文研究分歧參數(shù)帶有對稱性的靜態(tài)多參數(shù)等變分歧問題，而且分歧參數(shù)所具有的對稱性可與狀態(tài)變量所擁有的對稱性不同，從而建立起更一

7、般的參數(shù)具有對稱性的靜態(tài)等變分歧理論，包括靜態(tài)等變分歧問題的開折、穩(wěn)定性、識別。在此基礎(chǔ)上對狀態(tài)變量以D4對稱群、分歧參數(shù)以S1對稱群的靜態(tài)分歧問題在拓?fù)溆嗑S數(shù)不超過2的條件下進行分類，這就是本文研究的內(nèi)容之一。在靜態(tài)分歧問題的研究中，需要引入分歧問題及其開折的等價關(guān)系。通常的開折理論借助于奇點理論中光滑映射芽的接觸等價來定義分歧問題及其開折的等價，本文考慮引入奇點理論中的左右等價關(guān)系，對于以緊李群為對稱群的分歧問題的等價

8、賦予新的含義，因而將要建立的開折理論區(qū)別于通常的等變分歧問題的開折理論，這是本文研究的內(nèi)容之二。本文由相對獨立的兩部分組成，第一部分包含第一章和第二章，討論多參數(shù)等變分歧問題的開折理論、分歧問題及其開折的穩(wěn)定性和分歧問題的識別，并給出了狀態(tài)變量以D4對稱群、分歧參數(shù)以S1對稱群的靜態(tài)分歧問題在拓?fù)溆嗑S數(shù)不超過2的條件下進行分類。第二部分研究多參數(shù)等變分歧問題關(guān)于左右等價的開折，主要結(jié)果是命題3.2.1，定理3.4.1.推廣了