正倒向隨機(jī)微分方程和高維模型的統(tǒng)計推斷.pdf

1、隨著現(xiàn)代社會的發(fā)展與金融領(lǐng)域研究的日益深入，金融產(chǎn)品已經(jīng)成為人們生活中不可或缺的組成部分，投資組合分析，資產(chǎn)定價及金融風(fēng)險度量等輔助金融市場交易的數(shù)理模型和分析工具層出不窮，自上世紀(jì)九十年代以來頻發(fā)的世界范圍內(nèi)的金融危機(jī)也凸現(xiàn)出這類研究的巨大意義，倒向隨機(jī)微分方程(BSDE)正是在此大環(huán)境下被發(fā)掘出其旺盛的生命力，正倒向隨機(jī)微分方程(FBSDE)也逐漸鞏固了它在金融業(yè)界的地位.此外在數(shù)理經(jīng)濟(jì)，工程技術(shù)，生物科技等各個領(lǐng)域研究者遭遇了越來

2、越多的大樣本海量數(shù)據(jù)或復(fù)雜抽樣數(shù)據(jù)，一方面維數(shù)的膨脹為數(shù)據(jù)信息的模式識別和規(guī)律發(fā)現(xiàn)布置了維數(shù)災(zāi)難，而另一方面高維數(shù)據(jù)中蘊藏的豐富信息也帶來了維數(shù)福音，這就要求尋找更有效的方法處理高維數(shù)據(jù)滿足統(tǒng)計建模和計量經(jīng)濟(jì)分析等方面的需求.
　　BSDE自問世以來已被廣泛的應(yīng)用于數(shù)理金融與生物動力系統(tǒng)等領(lǐng)域，它與正向隨機(jī)微分方程(OSDE)的本質(zhì)區(qū)別在于BSDE依賴于終端條件，這恰好符合某些金融市場或生態(tài)環(huán)境運行態(tài)勢的典型特征，然而這類終端相依

3、模型的統(tǒng)計推斷工作仍懸而未決.本論文首次構(gòu)建了FBSDE模型并提出了FBSDE終端相依的積分型半?yún)?shù)估計和終端控制變量估計，簡要拓展了模型的貝葉斯分析法，三種方法均以終端條件為基礎(chǔ)解決了上述目標(biāo)相依的問題.由于引入了積分形式，控制變量與貝葉斯觀點，新模型的估計與OSDE估計的經(jīng)典推斷技術(shù)大相徑庭或更為復(fù)雜，但保留了估計的相合性與漸近正態(tài)性，數(shù)據(jù)模擬進(jìn)一步驗證了估計在有限樣本內(nèi)的良好表現(xiàn).
　　為了降低多元非參數(shù)回歸維數(shù)災(zāi)難的影響，

4、本論文引進(jìn)了一種基于數(shù)值模擬的兩步估計法，具體的是受到模擬外推法的啟發(fā)將多元非參數(shù)回歸模型分解為兩部分，第一部分作為模型的主體其估計可達(dá)到參數(shù)收斂速度，第二部分足夠小到可利用截斷參數(shù)也較小的正交基函數(shù)展開作出近似，這兩部分的線性組合即構(gòu)成了多元回歸函數(shù)的兩步估計.這一方法不需借助回歸函數(shù)的任何結(jié)構(gòu)性假設(shè)，且對較小的截斷參數(shù)也能保證估計的相合性，與受到維數(shù)詛咒的一般非參數(shù)估計如核平滑方法和局部線性估計等相比，我們提出的兩步估計更具優(yōu)越性.

5、
　　近年來模型誤定問題在統(tǒng)計學(xué)與計量經(jīng)濟(jì)學(xué)界也日漸引起廣泛關(guān)注，一個不容忽視的障礙是當(dāng)模型存在全局誤定，即使其覆蓋了大量參數(shù)與預(yù)測變量的信息，誤定導(dǎo)致的與真實模型的偏離不僅不會消除反而會被加劇.本文采用了廣義矩方法(GMM)對發(fā)散維數(shù)誤定模型進(jìn)行推斷，詳細(xì)闡述了新估計在局部相合性，全局相合性和漸近正態(tài)性等方面的漸近表現(xiàn).為了減小全局誤定的偏差，一種可完善模型及估計的半?yún)?shù)修正方法在理論結(jié)果和數(shù)值試驗均證實了它自身的有效性.

6、>　　本論文共分為五個章節(jié)，全文組織與創(chuàng)新如下:
　　第一章為FBSDE模型，多元非參數(shù)回歸模型和發(fā)散維參數(shù)模型述評，扼要回顧了各類統(tǒng)計建模過程與現(xiàn)有推斷方法的進(jìn)展，指出了它們存在的優(yōu)勢與不足，提出了FBSDE模型的三種終端相依估計，多元回歸模型的兩步估計與發(fā)散維誤定模型的GMM與半?yún)?shù)誤定糾偏方法的研究背景與理論基礎(chǔ).
　　第二章著重探索了如下FBSDE模型的終端相依統(tǒng)計推斷，｛dYt=-g(t，Yt，Zt)dt+ZtdB

7、t; YT=ξ，(1)dXt=μ(t，Xt)dt+σ(t，Xt)dBt;X0=x.假設(shè)在觀測時間區(qū)間[0，T]內(nèi)的初始觀測點為t1，記錄等時間間隔的觀測時間點為{ti=t1+(i-1)△，i=1，…，n}，相應(yīng)的觀測數(shù)據(jù)序列為{Xi，Yi，i=1，…，n}，終端條件ξ服從某已知分布，抽取樣本{ξi，1≤i≤m}.借助積分型方程的離散化重新建立具有線性生成元的模型為{Yi=ξ+n∑j=i（bYj+cZj）△j+O(△)+(∈)i+vs，E

8、((∈)i)=0，(2)Var((∈)i)=n∑j=i△jZ2j+Var(ξ)+O(Δ),i=1，…，n，我們分別提出了模型中未知成分Zt的非參數(shù)估計和生成元的半?yún)?shù)估計.
　　Z2t在x0處的N-W型核估計(Z)2x0=n-1∑i=1△-1(Yi+1-Yi)2Kh(Xi-x0)/n-1∑i=1Kn(Xi-x0)(3)其漸近性質(zhì)滿足下述定理.
　　定理2.1除了滿足條件(2.1),(2.2)和(2.3)，{Xi:Xi∈(x0

9、-h，x0+h)，i=1，…，n}來自平穩(wěn)的ρ-混合馬爾科夫過程，且對于0＜ρ＜1，其ρ-混合系數(shù)滿足ρ(l)=ρl，假設(shè)它的概率密度函數(shù)p(x)在支撐上連續(xù)有界，p(x0)＞0，Zx0＞0，p(x)和Zx在x0的鄰域內(nèi)是二階連續(xù)可微的.當(dāng)n→∞時，若有nh→∞，nh5→0和nh△2→0均成立，則√(n-1)h(Z2x0-Z2x0)D→N(0，Z4x0JK/p(x0))，其中JK=1∫-1 K2(u)du＜∞.
　　參數(shù)β=(b，

10、c)（τ）的估計可借助常規(guī)的參數(shù)估計方法得到，例如最小二乘估計，最小化下式n∑i=1（Yi-(ξ)-n∑j=1（bYj+c(Z)j）△j）2，(4)通過下面的定理我們明確了半?yún)?shù)估計的漸近正態(tài)性.
　　定理2.2除了(2.1)-(2.4)，假設(shè){Xi，i=1，…，n}來自ρ-混合系數(shù)滿足ρ(l)=ρl的平穩(wěn)ρ-混合馬爾科夫過程，對于0＜ρ＜1.假設(shè)它的概率密度函數(shù)p(x)在支撐上連續(xù)有界，在支撐的內(nèi)點x0，有p(x0)＞0，Zx0

11、＞0，且p(x)和Zx在x0的鄰域內(nèi)是二階連續(xù)可微的.當(dāng)n→∞時，若有nh→∞，nh5→0和nh△2→0，那么√n（(β)-β）d→N(0，σ2∑-1+∑-1Ω∑-1)，這里σ2=Var(ξ/T).
　　第三章里引入了終端控制變量模型，離散化倒向方程并對終端取條件期望,Yt+△-Yt=-g(t,Yt，Zt)△+m（Xt，ξ）+ut,(5)其中m（Xt，ξ）=E（Zt（Bt+△-Bt）|Xt，ξ），ut=Zt(Bt+△-Bt)-m（

12、Xt，ξ），對樣本觀測間隔△取值的兩種情況分別展開討論.△趨于0且收斂速度很快時，不妨通過最小二乘法得到β的相合估計，最小化下式n-1∑i=1m∑j=1(Yi+1，j-Yi，j+(bYi,j+c(Z)i，j)△-(m)（Xi，j，ξj））2.若△趨于0的速度較慢，可得關(guān)于參數(shù)β的估計方程為R（β)=n-1∑k=1m∑l=1（g'β（β，Xk，l）△-m'β（Xk，l，ξl）(Yk+1，l-Yk，l+g(β，t，Yk，l，(Z)k，l)△

13、-(m)β（Xk，l，ξl）=0，可通過常規(guī)方法得到半?yún)?shù)估計(β)TC的顯式表示.這里給出△下降很快時估計的漸近性質(zhì).
　　定理3.1除了假設(shè)條件(2.1),(2.2)，(2.3)和(3.1)成立，{X，i=1，…，n}來自平穩(wěn)的ρ-混合馬爾科夫過程，對于0＜ρ＜1，ρ(l)=ρl，(Xt，ξ)有概率密度函數(shù)pXt，ξ(x0，ξ0)，此外，函數(shù)pXt，ξ(x0，ξ0)，m(x0，ξ0)和Zx0，ξ0在（x0，ξ0)的鄰域內(nèi)存在二

14、階連續(xù)導(dǎo)數(shù).當(dāng)n，m→∞，h→0時，若滿足nmh2→∞，則有√(n-1)m((β)TC-β)d→N(0，σ2u∑-1t).本章結(jié)束前我們還簡要分析了FBSDE模型的貝葉斯推斷方法，包括單一風(fēng)險投資及多風(fēng)險投資場合下參數(shù)的后驗分布及貝葉斯推斷方法的主要步驟，該課題將在今后的研究中被給予關(guān)注.
　　在不對回歸函數(shù)強(qiáng)加任何結(jié)構(gòu)性假設(shè)的前提下解決高維非參數(shù)估計的維數(shù)問題，是第四章的主要目的.我們的研究對象是如下多元回歸模型Y=r(X)+ε

15、，(6)提出基于數(shù)值模擬的兩步估計法和相應(yīng)實施的步驟，(g)(x)=1/ss∑i=1h（x+Ui）=s∑i=1YjWj(x)，(7)(η)m(x)=mj∑kj=0，j=1，…，d(φ)k1，…，kdpk1，…，kd(x),(8)最終r(x)的兩步估計為(r)(x)=(g)(x)+(η)m(x)，(9)隨后研究了估計量(r)的漸近性質(zhì).
　　定理4.1若期望E(Y2)和E（f2U（U,σ2U））存在，U(1)，…，U(d)表示U的獨

16、立分量，且對任意的z=x+u∈(x)∪(u)有fz(z)＞0，Pm(x)P'm(x)的最大特征根有界，r(x)屬于(4.2.13)定義的索伯列夫橢球集S(β，L)，并且具有余弦基展開的形式，則估計的偏滿足(r)(x)-r(x)=Op(n-1/2m)+Op(m-β11…m-βddLdγU(m)),(10)這里m=d∑j=1mj，γU(m)=1-inf0≤kj≤mj,j=1，…，d{E(cos(πk1πU(1)+…+πkdU(d)））}2.

17、
　　特別的對任意j，當(dāng)βj=β0，mj=O(nδ)，并且δ=(1/2+log(γU(m)Ld)/logn)/（β0d+1），那么對ρ=β0d/(2(β0d+1))-log(γU(m)Ld)/（（β0d+1）logn)，有(r)(x)-r(x)=Op（n-ρ）.
　　在最后一章中，我們探索了發(fā)散維數(shù)誤定模型的廣義矩方法，估計函數(shù)向量g（x，θ）全局有偏時，E[g(X，θ)]=μ(θ)，‖μ(θ)‖＞0當(dāng)θ∈(Θ).(11)廣

18、義矩估計(θ)=argθ∈(Θ)minQ（θ），(12)在滿足識別條件等前提下具有如下性質(zhì)，
　　定理5.1假設(shè)5.1-5.2成立，n趨于無窮，若有pn≤qn，q4n/n→0，(13)則Q(θ)存在局部極小值(θ)n，使得‖(θ)n-(θ)*n‖=Op（√qn/n）.(14)
　　定理5.2假設(shè)5.1-5.3成立，且存在某正常數(shù)C使得λΛmin＞C，若有(13)成立，則(θ)n滿足(14).
　　定理5.3假設(shè)5.1-

19、5.4成立，n趨于無窮，若有pn≤qn，q2n/n→0,p5n/n→0,(15)則√nAn（(θ)n-(θ)*n）D→N(0，Ω11+2Ω12+Ω22)，D代表依分布收斂.
　　而對于有一個可加項被誤定的可加模型，xn1=θn1+ r(xn2，θn2)+u（xnJ，θnJ）+ε，(16)(θ)0n處修正的估計函數(shù)為(g)n(xn，(θ)0n)=((g)n1，(g)n2，…，(g)nqn)'，(17)并得到了半?yún)?shù)糾偏的修正估計為(

20、θ)n=argθn∈(Θ)n min(Q)(θn).下面的定理陳述了調(diào)整后估計的漸進(jìn)無偏性與相合性.
　　定理5.4假設(shè)可加模型(16)只有r(xn2，θn2)被誤定，E((θ)n2-(θ)*n2)2=O(1/nδ)當(dāng)δ＞0，(18)r(xn2，θn2)和r0(xn2)對xn2存在二階連續(xù)偏導(dǎo)，則對任意j=1，2，…，qn，0＜ xn2＜1，有E（(g)nj（Xn，(θ)0n）|Xn=xn）=O（h2）+O(1/nδ/2)(a.s