一類二階Hamilton系統(tǒng)及半線性橢圓方程解的存在性與多重性.pdf

1、本文利用臨界點(diǎn)理論中的極小作用原理及局部環(huán)繞定理，應(yīng)用約化方法得到了以上二階非自治哈密爾頓系統(tǒng)解的存在性與多重性，主要結(jié)果如下. 定理1設(shè)F：[0，T]×RN→R滿足條件(A)，且滿足下面的條件： (a)-▽F(t，·)是μ(t)-單調(diào)的；其中μ∈L1(0，T；R+)，即有：(-▽F(t，x)-(-▽F(t，y))，x-y)≥μ(t)(|x-y|2)對(duì)任意x，y∈RN以及a.e.t∈[0，T]都成立； (b)存在

2、f，g∈L1(0，T；R+)，其中∫T0f(t)dt＜24m+12/T(m+1)2，使得|▽F(t，x)|≤f(t)|x|+g(t)對(duì)任意x∈RN以及a.e.t∈[0，T]都成立.則二階系統(tǒng)(HS1)在H1T中至少存在一個(gè)解.定理2設(shè)F：[0，T]×RN→R滿足條件(A)，定理1中的條件(a)，(b)，以及：(c)存在常數(shù)δ＞0和某一整數(shù)l＞m使得F(t，x)-F(t，0)≤1/2m2ω2|x|2-1/2l2ω2|x|2對(duì)任意|x|≤δ

3、以及a.e.t∈[0，T]成立；則系統(tǒng)(HS1)在H1T中至少存在一非零解.定理3設(shè)F：[0，T]×RN→R滿足條件(A)，定理1中的條件(a)，(b)，以及：(c)'存在常數(shù)δ＞0和某一整數(shù)l＞m使得1/2m2ω2|x|2-1/2(l+1)2ω2|x|2≤F(t,x)-F(t，0)≤1/2m2ω2|x|2-1/2l2ω2|x|2 對(duì)任意|x|≤δ以及a.e.t∈[0，T]成立；則系統(tǒng)(HS1)在H1T中至少存在兩個(gè)非零解.定理

4、4設(shè)F：[0，T]×RN→R滿足條件(A)，且存在函數(shù)γ∈L1(0，T；R)，其中0＜∫T0γ(t)dt＜12/T，使得(▽F(t，x)-▽F(t，y)，x-y)≥-γ(t)|x-y|2 對(duì)任意x，y∈RN以及a.e.t∈[0，T]成立.若當(dāng)|x|→+∞時(shí)∫T0F(t，x)dt→-∞，則系統(tǒng)(HS2)在H1T中至少存在一個(gè)解.定理5設(shè)F：[0，T]×RN→R滿足條件(A)，且存在函數(shù)h，γ∈L1(0，T;R)，其中∫T0γ(t)

5、dt＜12/T，∫T0h(t)dt＞0，使得-γ(t)|x-y|2≤(▽F(t，x)-▽F(t，y)，x-y)≤-h(t)|x-y|2對(duì)任意x，y∈RN以及a.e.t∈[0，T]成立.則系統(tǒng)(HS2)在H1T中至少存在一個(gè)解. 此外，我們還考慮了Dirichlet橢圓邊值問(wèn)題(EP){-△u=f(x，u)+h(x),a.e.x∈Ω，u=0on()Ω；弱解的存在性與多重性.這里Ω()RN(N＞1)是有界區(qū)域，f：(-Ω)×R→R是

6、一個(gè)Carathéodory函數(shù).即，f(x，t)對(duì)任意t∈R關(guān)于x是可測(cè)的；對(duì)于a.e.x∈Ω，f(x，t)關(guān)于t是連續(xù)的.此外，h(x)∈L2(Ω). 設(shè)λk(k=1，2，…)是特征值問(wèn)題{-△u=λu,a.e.x∈Ω，u=0on()Ω；的第k個(gè)不同特征值，且E(λk)(k=1，2，…)是相應(yīng)的特征值λk所對(duì)應(yīng)的特征空間. 定理6設(shè)存在常數(shù)C＞0以及實(shí)函γ∈L1(Ω)，對(duì)任意t∈R，a.e.x∈Ω，使得f滿足條件|f

7、(x，t)|≤C|t|2*-1+γ(x)，(1)這里當(dāng)N≥3時(shí)，2*≡2N/(N-2)；當(dāng)N=1或者N=2時(shí)，2*為[1，+∞)中任何一個(gè)數(shù)； 此外對(duì)幾乎處處的x∈Ω，有l(wèi)imsup|t|→+∞2F(x,t)/t2≤a(x)≤λ1，(2)其中后一不等式的嚴(yán)格不等式在某個(gè)正測(cè)集E()Ω上成立，這里F(x，t)=∫T0f(x，s)ds.設(shè)h∈L2(Ω)滿足∫Ωh(x)ψ(x)dx=0(3) 其中，ψ是特征值λ1所對(duì)應(yīng)的就范特

8、征函數(shù)，對(duì)任意x∈Ω，ψ(x)＞0.則問(wèn)題(EP)在H10(Ω)上至少有一個(gè)解存在. 定理7設(shè)存在一個(gè)常數(shù)C0＞0以及常數(shù)p：當(dāng)N≥3時(shí)2＜p＜2N/(N-2)；當(dāng)N=1，2時(shí)，p∈(2，+∞).對(duì)任意t∈R以及a.e.x∈Ω，f滿足|f(x，t)|≤C0(|t|p-1+1).(4) 若條件(2)成立，且存在一個(gè)整數(shù)m≥1以及δ＞0使得λm|t|2≤2F(x，t)≤λm+1|t|2(5) 對(duì)任意|t|≤δ，a.e

9、.x∈Ω成立.則問(wèn)題(EP)在H10(Ω)中至少有兩個(gè)非零解. 定理8設(shè)f滿足條件(1)；存在常數(shù)a＞λk，對(duì)任意s，t∈R，s≠t使得f滿足條件f(x,s)-f(x,t)/s-t≥a；(6) 以及對(duì)幾乎處處的x∈Ω，有l(wèi)imsup|t|→+∞2F(x,t)/t2≤a(x)≤λk+1,(7)其中后一不等式的嚴(yán)格不等式在某個(gè)正測(cè)集E()Ω上成立.若h=0，則問(wèn)題(EP)在H10(Ω)中至少有一個(gè)解. 定理9設(shè)f滿足

10、條件(4).若條件(6)(7)成立，且存在一個(gè)整數(shù)m≥k+1以及δ＞0使得λm|t|2≤2F(x，t)≤λm+1|t|2(8) 對(duì)任意|t|≤δ，a.e.x∈Ω成立.若h=0，則問(wèn)題(EP)在H10(Ω)中至少有兩個(gè)非零解. 定理10設(shè)f滿足條件(4)；存在常數(shù)a＜λk+1，對(duì)任意s，t∈R，s≠t使得f滿足f(x,s)-f(x,t)/s-t≤a： 以及對(duì)幾乎處處的x∈Ω，有l(wèi)iminf|t|→+∞2F(x,t)