兩類半線性橢圓方程解的存在性和多重性.pdf

1、本文首先討論了帶臨界指數(shù)的半線性橢圓方程{-△u=g(χ)|u|2*-2u+λf(χ),χ∈Ω,u=0，χ∈(e)Ω，(P1)多重正解的存在性，其中Ω(C)(R)N(N≥3)是具有光滑邊界的有界開區(qū)域，λ是一個(gè)正實(shí)參數(shù)，2*=2N/N-2是臨界指數(shù).
　　 首先，我們對(duì)函數(shù)f和g做如下的假設(shè):(f)f在(Ω)上是連續(xù)函數(shù)，f≥0且f≠0;(g1)g在(Ω)上是連續(xù)函數(shù)，g＞0;（g2）在Ω上存在k個(gè)點(diǎn)a1，a2，…，ak滿足K=

2、{a1,a2，…，ak}={χ∈(Ω)|g(χ)=1},maxx∈(Ω)g(χ)=1,且對(duì)某ρ＞N，當(dāng)χ→a，使得:g(a)-g(χ)=(O)(|χ-a|(ρ))且關(guān)于a∈K一致成立.
　　 我們主要利用了變分法，分析技巧和Nehari流形技巧，得到如下結(jié)果.定理1.假設(shè)λ∈(0，Λ)，函數(shù)f在(Ω)上是連續(xù)的，f≥0且f≠0，g在(Ω)上是連續(xù)的，且g＞0，則方程(P1)至少有一個(gè)正解.
　　 如果3≤N≤6，我們可以

3、得到比定理1更好的結(jié)果.我們有如下的結(jié)果.定理2.假設(shè)3≤N6，函數(shù)f和g滿足(f)-（g2）條件，則存在一個(gè)Λ*＞0，使得對(duì)于任意的λ∈(0，Λ*)，方程(P1）至少有k+1個(gè)正解.
　　 接下來，我們研究了一類帶臨界指數(shù)的半線性橢圓方程{-△u=λf(χ)|u|q-2u+g(χ)|u|2*-2u,χ∈Ω,u=0,χ∈(e)Ω，(P2)多重變號(hào)解的存在性，其中Ω(C)(R)N是具有光滑邊界的有界開區(qū)域，λ是一個(gè)正實(shí)參數(shù)，N＞6