2023年全國(guó)碩士研究生考試考研英語(yǔ)一試題真題(含答案詳解+作文范文)_第1頁(yè)
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1、考慮帶有臨界指數(shù)增長(zhǎng)項(xiàng)的Kirchhoff型方程{-(a+6∫Ω|▽u|2dx)△u=f(x,u)+u5,x∈Ω,u=0,x∈(a)Ω,(1)其中Ω是R3中一個(gè)非空有界開集有足夠光滑的邊界(a)Ω,a≥0,b>0,且f(x,t):(Ω)×R是一個(gè)連續(xù)函數(shù).
   對(duì)于退化的Kirchhoff型方程,我們利用變分方法,對(duì)能量泛函進(jìn)行上界估計(jì)和局部的(PS)條件的證明,最后利用山路引理得到了如下結(jié)論.
   定理1假設(shè)a=0

2、,b>0及(f'1)f∈C(Ω×R+,R)和limt→0+f(x,t)/t3=0,limt→+∞f(x,t)/t5=0關(guān)于幾乎處處x∈Ω一致成立.(f'2)存在常數(shù)ρ,ρ>4,使得0<ρF(x,t)≤f(x,t)t對(duì)于x∈Ω,t∈R+\{0}成立(其中F(x,t)是f(x,t)關(guān)于t的原函數(shù),即F(x,t)=∫t0f(x,s)ds對(duì)于x∈Ω及t∈R).
   那么方程(1)至少有一個(gè)正解.
   利用相似的方法,我們可以

3、得到非退化情況下,有如下結(jié)論.
   定理2假設(shè)a>0,b>0及(f1)f∈C(Ω×R+,R)和limt→0+f(x,t)/t=0,limt→+∞f(x,t)/t5=0關(guān)于幾乎處處x∈Ω一致成立.(f2)存在常數(shù)ρ,ρ>5,使得0<ρF(x,t)≤f(x,t)t對(duì)于x∈(Ω)及t∈R+\(0)成立.那么方程(1)至少有一個(gè)正解.
   考慮下面的Kirchhoff型方程{-(a+6∫Ω|▽u|2dx)△u=f(x,u),

4、x∈Ω,u=0.x∈(a)Ω,(2)其中Ω是RN的非空有界開集,a,b>0,f(x,t):(Ω)×R連續(xù)函數(shù)且是次臨界增長(zhǎng)的,即存在正常數(shù)C,使得|f(x,t)|≤C(|t|p-1+1),2<p<2*={2N/N-2,N≥3∞,N=1,2.(3)
   對(duì)于如下非線性問(wèn)題的特征值{-(∫Ω|▽u|2dx)△u=μu3,x∈Ω,u=0,x∈(a)Ω.且記最小的特征值為μ1.
   我們利用山路引理,對(duì)于超線性增長(zhǎng)的情況得出

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