從Gauss-Bonnet定理內(nèi)外蘊(yùn)證明到陳類.pdf

1、Gauss-Bonnet定理是聯(lián)系流形的局部幾何性質(zhì)和整體的拓?fù)涮卣鞯闹匾ɡ?。Allendoefer和Weil運(yùn)用局部嵌入的方法(即外蘊(yùn)方法)證明了對一般的閉的黎曼流形成立的推廣的Gauss-Bonnet定理。隨后陳省身給出了推廣的Gauss-Bonnet定理的內(nèi)蘊(yùn)證明，開創(chuàng)了大范圍內(nèi)蘊(yùn)幾何的新篇章。他運(yùn)用活動標(biāo)架方法描寫聯(lián)絡(luò)和曲率，把所有的因素都放到標(biāo)架叢來考慮，并運(yùn)用切球叢上的內(nèi)蘊(yùn)地聯(lián)系著底流形的微分形式，把對于底流形上的微分形式

2、的積分轉(zhuǎn)化到切球叢上的。這種內(nèi)蘊(yùn)證明的方法對微分幾何的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。Gauss-Bonnet定理的內(nèi)蘊(yùn)證明是后來繼續(xù)發(fā)展的“超渡”方法的源泉，它把底流形上的微分形式提升到標(biāo)架叢上來考慮，運(yùn)用到球叢上的內(nèi)蘊(yùn)地聯(lián)系著底流形的微分形式。內(nèi)蘊(yùn)證明是微分幾何發(fā)展史上的一個里程碑，把整體拓?fù)渑c整體內(nèi)蘊(yùn)幾何聯(lián)系了起來。陳省身隨后又由此發(fā)現(xiàn)了復(fù)纖維從上的拓?fù)洳蛔兞俊愵?，它是一種重要的示性類，因?yàn)樵趶?fù)纖維上考慮的示性類比其它的示性類更簡潔，而