群在圖形上的應(yīng)用及程序?qū)崿F(xiàn).pdf

1、本文首先對(duì)群作用和置換群作進(jìn)行了進(jìn)一步的研究,在這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的基礎(chǔ)之上討論了位移群及剛體運(yùn)動(dòng)群并得到了一個(gè)很重要的結(jié)論：凡旋轉(zhuǎn)軸是通過空間中一定點(diǎn)O的直線的有限階旋轉(zhuǎn)群只可能是五種型分別是n 階旋轉(zhuǎn)循環(huán)群、二面體群、四面體群、正六面體群或正八面體群和正十二面體群或正二十面體群,這與圖論中Euler多面體公式得到的空間中的五種正多面體：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體的結(jié)論一致。
　　 本文著重在正方體的對(duì)稱變

2、換、剛體變換和對(duì)正方體的頂點(diǎn)和面不等價(jià)著色的種類上面進(jìn)行探討和研究。正方體的對(duì)稱變換共有24個(gè),前人都有了很深入和準(zhǔn)確的研究。在對(duì)正方體的剛體變換進(jìn)行研究時(shí)本文用了兩種方法：①正方體的剛體變換的研究是在正方體的對(duì)稱變換的基礎(chǔ)之上進(jìn)行的。正方體的對(duì)稱變換是由恒等旋轉(zhuǎn)、繞三對(duì)對(duì)立面的中心旋轉(zhuǎn)、繞對(duì)邊中點(diǎn)的連線的旋轉(zhuǎn)和繞對(duì)角點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)組成。正方體的剛體變換的是在正方體的對(duì)稱變換的基礎(chǔ)之上增加了鏡面照映、反射成對(duì)徑點(diǎn)、繞對(duì)角點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)與鏡面照映乘積

3、和繞對(duì)角點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)與反射成對(duì)徑點(diǎn)的乘積。從而得到了正方體的剛體變換的48 種置換方式，這種方法具體且形象的將正方體的剛體變換展現(xiàn)了出來。②運(yùn)用群作用的這一知識(shí)點(diǎn),并結(jié)合群的軌道個(gè)數(shù)、穩(wěn)定子群的個(gè)數(shù)和群的階三者的數(shù)量關(guān)系最后得到了正方體的剛體變換有48 種。這種方式?jīng)]有具體的得出正方體剛體變換，只是通過抽象的數(shù)量關(guān)系得到了最后的結(jié)果。
　　 用形象和抽象的兩種方式都得到了一致的結(jié)論即正方體的剛體變換的方式共有48種。
　　

4、接下來本文結(jié)合群論、數(shù)論和圖論的部分知識(shí)點(diǎn)得到了Burnside定理和Polya 計(jì)數(shù)公式。然后運(yùn)用這兩個(gè)公式和相關(guān)知識(shí)點(diǎn)我們求得用紅色和藍(lán)色兩種顏色對(duì)正方體的頂點(diǎn)進(jìn)行不等價(jià)著色共有23種方式；用紅色和藍(lán)色兩種顏色對(duì)正方體的面進(jìn)行不等價(jià)著色共有10種方式。最后本文用matble語言將正方體的對(duì)稱變換與計(jì)算機(jī)程序結(jié)合起來,在計(jì)算機(jī)上將正方體對(duì)稱變換即恒等旋轉(zhuǎn)、繞三對(duì)對(duì)立面的中心旋轉(zhuǎn)、繞對(duì)邊中點(diǎn)的連線的旋轉(zhuǎn)和繞對(duì)角點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)得以實(shí)現(xiàn)。