Minkowski平面上的弦正交性.pdf

1、2010年,Martini和Spirova在Minkowski平面(亦即,實(shí)賦范平面)上引入了弦正交的概念。在他們工作的基礎(chǔ)上,本文從兩個不同角度討論了之前被忽視的弦正交的存在性;深入研究了弦正交的唯一性,改進(jìn)了他們關(guān)于弦正交右唯一性的結(jié)論,給出了關(guān)于弦正交左唯一性的全新結(jié)果,得到了嚴(yán)格凸Minkowski平面的兩個新的特征性質(zhì),加強(qiáng)了Martini和Spirova的相應(yīng)結(jié)論;給出了弦正交與Martini和Spirova一文中沒有提及的

2、其他正交性之間的關(guān)系,得到了新的歐氏平面(亦即,實(shí)二維Hilbert空間)的特征性質(zhì)。具體的,本文的主要結(jié)論包含如下三個部分。
　　 弦正交性的存在性。證明了對單位圓的任一給定的弦[p1,q1]及單位圓上任一點(diǎn)p2,均存在弦[p2,q2]使得[p1,q1]正交于[p2,q2],給出了存在過單位圓上一點(diǎn)p1的弦[p1,q1]正交于給定的弦[p2,q2]的充分必要條件。證明了對給定的單位圓的弦[p,q]以及給定的數(shù)α∈(0,2]均存

3、在單位圓的長度為α的弦[p1,q1]和[p2,q2]使得[p,q]正交于[p1,q1],[p2,q2]正交于[p,q]。
　　 弦正交的唯一性與Minkowski相關(guān)性質(zhì)之間的關(guān)系。證明了一個Minkowski平面上的弦正交是右唯一的當(dāng)且僅當(dāng)該Minkowski平面是嚴(yán)格凸的,H.Martini和M.Spirova只給出該結(jié)果充分性的證明;弦正交是左唯一的當(dāng)且僅當(dāng)該平面是嚴(yán)格凸和光滑的。證明了一個Minkowski平面是嚴(yán)格凸的

4、當(dāng)且僅當(dāng),對于任一數(shù)α∈(0,2],單位圓的任一弦[p1,q1]正交且僅正交于兩條長度為α的弦。給出了嚴(yán)格凸的Minkowski平面的另外一個充分必要條件:對滿足條件z≠-X,z≠-y的單位圓上互異的三點(diǎn),如果得[x,z]正交于[z,y]或者[z,y]正交于[x,z],則x≠-y。H.Martini和M.Spirova只證明了該結(jié)論的充分性部分。
　　 弦正交與其他正交性之間的關(guān)系。證明了,如果弦正交性蘊(yùn)含著等腰正交、畢達(dá)哥拉斯