非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)一般形式及其廣義哈密頓體系下的幾何積分方法.pdf

1、幾何積分方法無論在提高計(jì)算精度還是在保持系統(tǒng)的不變量性質(zhì)等方面都比傳統(tǒng)的積分算法有優(yōu)勢(shì)，同時(shí)，它還具有向后誤差分析的性質(zhì)，可用于研究數(shù)值方法的長(zhǎng)期行為，以及進(jìn)行數(shù)值方法的穩(wěn)定性分析。本文主要研究了廣義Hamilton系統(tǒng)及一般非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的幾何積分方法。 首先，提出了求解一般動(dòng)力學(xué)方程的李級(jí)數(shù)方法，并給出具體實(shí)施辦法，它是泰勒展開方法的一個(gè)推廣。另一方面將動(dòng)力學(xué)微分方程用微分算子的形式表示之后，它的解算子可由它的無窮小生成元

2、的預(yù)解式取Laplace逆變換得到，如此再次得到了李級(jí)數(shù)方法，對(duì)于自治系統(tǒng)它是一個(gè)李群方法。另外，提出了基于Laplace變換數(shù)值反演的非線性動(dòng)力學(xué)方程的求解方法。 其次，基于李級(jí)數(shù)方法，提出了廣義Hamilton系統(tǒng)及耗散廣義Hamilton系統(tǒng)的李群積分法。廣義Hamilton系統(tǒng)形式是動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的一種恰當(dāng)表述，它揭示了力學(xué)系統(tǒng)內(nèi)蘊(yùn)的某種對(duì)稱性質(zhì)，它的理論研究和實(shí)際應(yīng)用在力學(xué)研究中具有十分重要的意義。本文在守恒系統(tǒng)解析解的理

3、論基礎(chǔ)上給出了構(gòu)造廣義Hamilton系統(tǒng)任意高階顯式保群積分格式的方法，同時(shí)討論了算法的具體實(shí)施過程。對(duì)耗散廣義Hamilton系統(tǒng)，就自治與非自治系統(tǒng)分別進(jìn)行了討論：對(duì)于自治系統(tǒng)，采用李級(jí)數(shù)方法并結(jié)合分裂合成的技巧直接進(jìn)行求解；對(duì)于非自治系統(tǒng)，基于Magnus級(jí)數(shù)方法和Fer展開方法來構(gòu)造其數(shù)值解。文中方法保持了原系統(tǒng)真解的典則性，因而也是穩(wěn)定的。如果更關(guān)注系統(tǒng)的能量性質(zhì)，如Hamilton函數(shù)性質(zhì)，文中用離散梯度的方法給出了廣義H

4、amilton系統(tǒng)及廣義Hamilton控制系統(tǒng)的保持其Hamilton函數(shù)性質(zhì)特征不變的數(shù)值解法。 同時(shí)，本文在偽Poisson流形上研究了廣義Hamilton約束系統(tǒng)的求解問題。把廣義Hamilton約束系統(tǒng)變形為無約束的廣義Hamilton系統(tǒng)微分方程，提出了保持系統(tǒng)內(nèi)在結(jié)構(gòu)和約束不變性的李群積分方法，并就約束不變量的誤差和穩(wěn)定性等問題進(jìn)行了理論分析和數(shù)值分析。另外通過引入拉格朗日乘子采用投影技術(shù)對(duì)廣義Hamilton約束

5、系統(tǒng)直接進(jìn)行積分，進(jìn)一步簡(jiǎn)化了積分過程。因?yàn)楸疚牡挠懻搶?duì)完整與非完整約束不加區(qū)分，一樣處理，所以也適用于非完整約束的情形。 然而，一般非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)并不是都可以表示為(耗散)廣義Hamilton系統(tǒng)的形式，即存在所謂廣義Hamilton實(shí)現(xiàn)問題。為此，基于經(jīng)典的Magnus和Fer展開式，在耗散廣義Hamilton系統(tǒng)的保結(jié)構(gòu)算法的基礎(chǔ)上，主要從兩個(gè)不同的角度，進(jìn)一步深入地研究了一般非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的李群積分方法：一個(gè)是在算子

6、理論范圍，把非線性動(dòng)力方程表示為一種線性映射作用的模型，便于在線性方程理論上設(shè)計(jì)新算法；一個(gè)是把動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的構(gòu)形空間拓廣到Minkowski空間，在Minkowski空間原非線性動(dòng)力學(xué)方程變形為增廣的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的一個(gè)李型方程，便于算法設(shè)計(jì)和程序?qū)崿F(xiàn)。其中，基于Magnus展開式的積分方法包含了大量的交換子運(yùn)算，利用函數(shù)的李級(jí)數(shù)展開技巧和Magnus級(jí)數(shù)的對(duì)稱性質(zhì)，算法設(shè)計(jì)中涉及了最少數(shù)目的交換子的計(jì)算，分別給出了包含1個(gè)、4個(gè)和10個(gè)交

7、換子的4階、6階和8階近似格式，并證明了算法是關(guān)于時(shí)間對(duì)稱的。需要指出的是對(duì)于自治系統(tǒng)該方法更加精確、有效，二階方法能達(dá)到四階以上的計(jì)算精度。數(shù)值算例還顯示，基于Magnus展開式的方法可以采用大步長(zhǎng)進(jìn)行計(jì)算。同時(shí)，基于Fer展開式給出了求解非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的超收斂的積分格式。進(jìn)而把Magnus和Fer展開方法有機(jī)地聯(lián)系起來，給出了簡(jiǎn)便易行的構(gòu)造Fer型積分的方法，并進(jìn)一步構(gòu)造了關(guān)于時(shí)間對(duì)稱的Fer型積分格式。 Runge-Ku

8、tta/Munthe-Kaas(RKMK)方法是求解構(gòu)形空間在李群上的微分方程的一種推廣的Runge-Kutta方法，它把李群上展開的微分方程變換為與之相應(yīng)的李代數(shù)上展開的等價(jià)微分方程，用Runge-Kutta方法近似求解變換后的微分方程，再由指數(shù)映射拉回到原李群便得到原微分方程的數(shù)值解。指數(shù)矩陣是矩陣?yán)畲鷶?shù)到與之相應(yīng)的矩陣?yán)钊旱囊粋€(gè)映射，基于RKMK方法，本文將計(jì)算指數(shù)矩陣的精細(xì)積分方法與經(jīng)典的Runge-Kutta方法相結(jié)合在Min

9、kowski空間對(duì)非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)及其增廣動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)構(gòu)造了一族簡(jiǎn)便有效的RKMK型積分方法，它們均屬于李群方法。 基于Magnus及Fer展開式的數(shù)值方法中也包含了很多指數(shù)矩陣，指數(shù)矩陣的計(jì)算精度直接影響算法的精度。精細(xì)積分能快速有效地計(jì)算指數(shù)矩陣，本文把求解線性動(dòng)力學(xué)方程的精細(xì)積分法推廣應(yīng)用到求解一般非線性動(dòng)力方程。在Minkowski空間原非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)變形為增廣的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，應(yīng)用精細(xì)積分法十分方便，對(duì)于自治系統(tǒng)它是一個(gè)李