非線性二階微分方程邊值問題正解的存在性及結(jié)構(gòu).pdf

1、非線性泛函分析是近幾十年來才發(fā)展起來的一門新的學(xué)科，是人們在研究醫(yī)學(xué)、生物學(xué)、古典和現(xiàn)代物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等過程中發(fā)展起來的.非線性問題是現(xiàn)代科學(xué)基礎(chǔ)知識之一，非線性泛函分析為研究非線性問題提供了理論工具.非線性泛函分析的基本方法有拓?fù)浞椒?，變分法，解析方法，半序方法和單調(diào)方法等.郭大鈞教授在文中對非線性泛函分析的幾個重要課題及其應(yīng)用，諸如某些典型的非線性算子，Hammerstein積分方程，常，偏微分方程，遷移方程，錐理論及非線性算子方程

2、的正解，非線性算子拓?fù)涠群筒粍狱c(diǎn)定理及固有值，解的個數(shù)與分支，都做了系統(tǒng)的概括和總結(jié). 抽象空間常微分方程理論是近二、三十年發(fā)展起來的一個新的數(shù)學(xué)分支，它把微分方程理論和泛函分析理論結(jié)合起來，利用泛函分析的方法來研究抽象空間的微分方程.在運(yùn)用這些方法來解決實(shí)空間中的微分方程時，經(jīng)常是將微分方程化為積分方程，并從積分方程中抽象出算子，然后通過討論算子的全連續(xù)性，求出算子的不動點(diǎn)，從而得到原方程的解. 奇異問題最早是在研究大

3、氣對流、天體演變及一些流動力學(xué)問題中提出來的，經(jīng)過轉(zhuǎn)化變成了對邊值問題{u"(t)+t-λu-m(t)=0，t∈(0，1)，u∈B(0，1)，λ，m＞0的研究，后來，研究重點(diǎn)開始圍繞微分方程{u"(t)+f(t，u(t)，u'(t))=0，t∈(0，1)，u∈B(0，1)，所謂奇性是指函數(shù)f在某些點(diǎn)的無界性. 本文第一章考慮Banach空間中一類比較廣泛的二階脈沖奇異邊值問題正解的存在性及多解的存在性.該問題源于劉衍勝教授在文[

4、4]中討論的奇異邊值問題，本章將[4]中的函數(shù)f(t，x)變化為f(t，x，x′)基本空間由PC[J,E]變化為PC1[J,E]，利用錐上的不動點(diǎn)定理得到了解的存在性. 第二章本文利用不動點(diǎn)指數(shù)理論討論了二階非線性常微分方程組耦合系統(tǒng)的奇異邊值問題多個正解的存在性，得到了兩個正解的結(jié)果.該問題起源于Agarwal和O'Regan在文[26]和[27]中考慮的微分系統(tǒng)，他們利用Leray-Schauder理論研究了非線性常微分方程

5、組耦合系統(tǒng)解的存在性，本章在其基礎(chǔ)上討論了某些特定條件下奇異邊值問題多個正解的存在性. 第三章討論了一類奇異邊值問題正解的確切個數(shù)以及解的性質(zhì)，該問題起源于由Agarwal和O'Regan[12]中提出的一個問題，Agarwal和O'Regan[12]中證明了對于充分小的δ＞0，方程{-y"(t)-δ(y-α(t)+yβ(t)+1)=0,t∈(0,1),y(0)=y(1)=0,有一個非負(fù)解，其中0≤α＜1＜β，δ＞0是一個參數(shù).